Примеры и примечания к главе XVI 397 . ---что оно имеет только один знак. Сколько потребуется элементарных шагов, чтобы выполнить упомянутое в примере 10 сложение наиболее обычным способом?
12. Производя вычисление, вы получаете сначала два девятизначных числа, а затем окончательный результат как их разность, которая оказывается трехзначным числом. При другом способе вычисления то же самое трехзначное число вы получаете в результате как разность двух семизначных чисел. Пользуясь формулой, приведенной в примере 9 (1), вычислите вероятность того, что такое согласие вызвано случайностью.
13. Формальное доказательство и правдоподобные рассуждения. Вы должны проделать длинное вычисление. Окончательный результат достигается последовательностью шагов и должен быть правильным, если правилен каждый шаг. Каждый отдельный шаг (например, сложение 3+7 или умножение 3X7) так прост и знаком, что при сколько-нибудь благоприятных обстоятельствах, когда ваше внимание «не отвлечено», вы не можете ошибиться. Тем не менее, подобно всякому другому, вы можете делать ошибки в вычислении. После того как вы весьма тщательно выполните эти последовательные шаги, вам не следовало бы без проверки доверять окончательному результату.
Вы проводите длинное математическое доказательство. Предполагается, что это доказательство разлагается на шаги, каждый из которых вы полностью можете проверить, и окончательное заключение должно быть правильным, если правилен каждый шаг. Однако подобно всякому другому, вы можете делать ошибки. Весьма тщательно проверив эти последовательные шаги, можете ли вы доверять окончательному заключению? Не более, а возможно и менее, чем окончательному результату длинного вычисления.
Действительно, математик, проверивший детали доказательства шаг за шагом и нашедший каждый шаг в порядке, все же может быть неубежден. Для убежденности ему нужно нечто большее, чем правильность каждой детали. Что же?
Он хочет понять доказательство. После того как он пробился через доказательство, шаг за шагом, он берет на себя больший труд: он пересматривает, перерабатывает, переформулирует и перерасполагает эти шаги до тех пор, пока ему не удается сгруппировать детали в доступное пониманию целое.
Только тогда он начинает доверять доказательству.
Я не отважился бы анализировать, что составляет «понимание». Некоторые говорят, что оно основано на «интуиции», и ощущение целого и группировку деталей в хорошо упорядоченное гармоничное целое они приписывают интуиции. Я не отважился бы этому противоречить, хотя у меня есть некоторые опасения Ч. Однако я хочу привлечь внимание к одному обстоятельству, на мысль о котором настойчиво наводят примеры и обсуждения в этой книге.
Некоторая практика может убедить нас, что аналогия и частные случаи могут быть полезны и в отыскании и в понимании математических доказательств. С помощью аналогии могут быть подсказаны или сделаны более ясными общий план или значительные части доказательства. Доказательство могут подсказывать и частные случаи (см. , например, § 3. 17); с другой стороны, мы можем проверить уже сформулированное доказательство, наблюдая, как оно проходит в знакомых или критических частных случаях. Однако аналогия и частные случаи являются наиболее обильными источниками правдоподобных рассуждений: возможно, они не только помогают создавать доказательное рассуждение и делать его более понятным, но и увеличивают наше доверие к нему. И это заставляет нас подозревать, что значительная часть нашей уверенности в доказательных рассуждениях может проистекать из правдоподобных рассуждений.
Ч Значение интуиции и ее роль в группировке деталей обычно не слишком хорошо объясняются. Замечательно, однако, что Декарт, от которого ведет происхождение современное употребление термина «интуиция», оба эти момента объясняет довольно убедительно, в третьем и седьмом из своих правил для руководства ума. См. Рене Декарт, Избранные произведения, М. , 1950, стр. 84—88 и 101—105.
.
Комментарий:
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.
Автор :
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.