Никто еще не предложил ясного и убедительного метода вычисления правдо-подобностей в нетривиальных случаях, и если мы ясно себе представим конкретные ситуации, в которых важна правильная оценка правдоподобностей (что мы уже сделали), то мы легко сможем понять, что любое приписывание правдоподобностям определенных числовых значений подвергается большой опасности показаться глупым.
Правдоподобности, имеющие определенные числовые значения, сравнимы: два числа или равны, или одно из них больше другого. Однако после обсуждения в (1) и (2) нам будет трудно допустить, что любые два предположения должны быть сравнимы по правдоподобности. Возьмите два предположения, с которых мы начали обсуждение: предположение Гольдбаха и упомянутое относящееся к истории предположение относительно открытия Америки. Если бы мы приписали их правдоподобностям числовые значения, то силу доводов, говорящих в пользу одного из них, можно было бы сравнить с силой доводов, говорящих в пользу другого, однако такое сравнение кажется бесполезным и глупым.
(5) Стоит ли? Есть другой вопрос, не зависящий от предыдущего обсуждения, который следует рассмотреть. Вес правдоподобной аргументации может быть крайне важен, но эта важность является условной, недолговечной, преходящей: стоит ли связывать числовое значение с чем-то столь недолговечным?
Какова правдоподобность закона тяготения Ньютона, если судить по фактам, собранным в первом издании Начал? Вообразим на минуту, что существует метод, позволяющий численно оценить такую правдоподобность, Однако мы не должны ни на минуту воображать, что эта оценка может быть легкой: ввиду сложности фактов и их взаимоотношений оценка должна быть тонкой, а вычисления длинными. Стоит ли ее предпринимать? Возможно, стоило бы для нас ввиду исторической и философской важности открытия Ньютона. Но едва ли для Ньютона и его современников: вместо вычисления правдоподобности этой теории они при таких же усилиях могли бы изменить эту правдоподобность, развивая теорию и умножая наблюдения. Кажется нелепым носвятить десять лет вычислению степени правдоподобности, которая имеет силу только одну секунду.
8. Бесконечно малые правдоподобности? Подтвердился новый частный случай какого-нибудь теоретико-числового предположения (например, предположения Гольдбаха; ср. §§ 1. 2, 1. 3). Такое подтверждение следует рассматривать как повышающее вес доводов, или правдоподобность этого предположения. Но никакое количество таких подтверждений не может доказать предположение. Возможно, мы даже чувствуем, что никакое количество таких подтверждений не может заметно приблизить предположение к доказательству. [Ср. примеры 4(5), 6(1). ] Такие чувства могут навести на мысль ввести бесконечно малые в исчисление вероятностей.
Современной математикой бесконечно малые могут трактоваться совершенно
ясно. Мы рассматриваем «величины» а, Ь. . . .
. представленные «формальными
степенными рядами»:
а = Оо + ate + ag"фа^е3 ф. . . ;
а^, Oj, аъ . . . —действительные числа, е — неизвестная, на сходимость не обращается никакого внимания. Существует алгебра таких величин; имеются правила (знакомые по теории сходящихся степенных рядов), в соответствии с которыми такие формальные степенные ряды можно складывать, вычитать и умножать; если Ф 0, можно даже производить деление на а. Мы называем а «величиной нуль», или 0, когда равны нулю все щ, аг, аг, . . . Две величины равны, если их разность есть0. Величина «сводится к числу Од, когда все ах,а^,(ц, . . . равны нулю.
Мы говорим, что а положительно, если первое неравное нулю число в последовательности аа, at, а2>. . . положительно. Из этого определения легко выводим два основных правила:
Или а = 0, или а положительно, или —а положительно,' и эти три возможности являются взаимно исключающими.
Сумма и произведение двух положительных величин положительны.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :