этими двумя, с должным учетом имеющегося в распоряжении времени интереса своих учеников, всех условий, в которых он работает
Эта книга главным образом адресуется учащимся, желающим развить свои способности, и читателям, желающим узнать о правдоподобных рассуждениях и их не столь уж банальных связях с математикой. Не игнорировались, я надеюсь, и интересы преподавателя, но они удовлетворялись скорее косвенно, чем прямо. Я надеюсь когда-нибудь восполнить этот пробел. Тем временем я повторяю свою надежду, что эта книга, как она есть, может быть полезной некоторым преподавателям, по крайней мере тем преподавателям, которые имеют настоящий опыт в решении задач. Трудность состоит в том, что существует так мало преподавателей математики, имеющих этот опыт. ■ И даже наилучший педагогический институт до сих пор не добился успеха в выпуске изумительного1 преподавателя, имеющего настолько превосходную выучку в методах преподавания, что он может заставить своих учеников понять даже то, чего не понимает сам.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ XVI
1. Преподавателю: некоторые типы задач. Эта книга предназначена служить различным категориям читателей: тем, кто желает понять, как догадываются, тем, кто желает научиться догадываться, и тем, кто желает учить догадываться. Читатель последней категории редко является непосредственным адресатом, но наблюдательный преподаватель мог бы кое-чему научиться и на изложенных в этой книге примерах и на способе изложения. Он мог бы, например, увидеть, что имеются способы постановки задач, очень отличающиеся от обычного способа. Я хочу указать несколько типов задач — задачи «догадаться и доказать», задачи «испытать следствия», задачи «вы можете сделать ошибочную догадку» и задачи «теория в малом масштабе». Все эти типы задач могут быть использованы наблюдательным преподавателем, чтобы привлечь интерес своих более смышленых учеников и освободить их от однообразных и стандартных задач, наполняющих учебники.
Догадаться и доказать. О математических фактах сначала догадываются, а затем их доказывают, и почти каждое место в этой книге старается показать, что это — нормальный образ действий. Если изучение математики должно иметь какое-нибудь отношение к математическим открытиям, то учащемуся должна быть дана какая-то возможность делать те задачи, в которых он сначала догадывается о некотором математическом факте, а затем доказывает его на подходящем уровне. Тем не менее обычные учебники этой возможности не предоставляют: примеры 1. 2, 5. 1, 5. 2, 7. 1—7. 6 (и многие другие) предоставляют такую возможность.
Испытать следствия.
Философы и нефилософы расходятся в мнениях относительно почти всего, касающегося индукции, но существует мало сомнений в том, что наиболее обычный индуктивный прием состоит в исследовании общего утверждения путем испытания его частных следствий. Этот индуктивный прием ежедневно применяется в математическом исследовании и мог бы ежедневно применяться в классе с реальной пользой для учащихся. См. пример 12. 2 и примеры 12. 3—12. 6. Ср. пример 6.
Вы можете сделать ошибочную догадку. Вам следовало бы приобрести некоторый опыт в догадках. Вам следовало бы из личного соприкосновения
Ч Изложение, промежуточное между § 4 и § 6, см. в книге X а р д и Г. Г. , Литтлвуд Дж. Е. и По. лиа Г. , Неравенства, М. , 1948, стр. 299 — 301,
.
Комментарий:
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.
Автор :
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.