с реальными вещами зиать, что догадки могут быть серьезными, что догадки могут вести к ошибке и что даже ваши собственные вполне серьезные догадки могут вести к ошибке. Для такого опыта решите примеры 11. 1—11. 12.
Теория в малом масштабе. Почти на каждой странице этой книги какая-нибудь относительно элементарная задача обсуждается таким образом, чтобы обсуждение проливало некоторый свет на вопросы, которые могут возникнуть в связи с другими, не столь элементарными задачами. Есть основание предпочитать такое «исследование в малом масштабе»: менее элементарная задача может показать рассматриваемый вопрос в масштабе, производящем более сильное впечатление, но она требовала бы значительно более длинных объяснений и значительно больших предварительных знаний. Не слишком легко «уменьшить масштаб»: элементарные задачи, достаточно ярко показывающие существенные свойства правдоподобных рассуждений или рассуждений, связанных с изобретением, может оказаться трудным найти. Возможно также, но это еще труднее, придумать элементарные задачи, чтобы проиллюстрировать действия ученого при построении теории. Нижеследующие примеры 2, 3 и 4 предлагают такие задачи «теории в малом масштабе», примеры 5 и 6 несколько сходны с ними.
2. Четырехугольник разрезается своими двумя диагоналями на четыре треугольника. Назовем два из этих треугольников «противоположными», если они имеют общую вершину, но не имеют общей стороны. Докажите утверждения:
(a) Произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других противоположных треугольников.
(b) Четырехугольник является трапецией в том и только в том случае, если существуют два равновеликих противоположных треугольника.
(c) Четырехугольник является параллелограммом в том и только в том случае, если все четыре треугольника равновелики.
3. (а) Докажите следующую теорему: Точка лежит внутри равностороннего треугольника и имеет соответственно расстояния х, у и г от.
трех его сторон; h — высота треугольника. Тогда х + у + г = л.
(b) Точно сформулируйте и докажите аналогичную теорему пространственной геометрии относительно расстояний внутренней точки от четырех граней правильного тетраэдра.
(c) Обобщите обе теоремы так, чтобы они относились к любой точке соответственно на плоскости или в пространстве (а не только к точкам внутри треугольника или тетраэдра). Дайте точные формулировки и доказательства.
4. Рассмотрите предложения (I)—(IV), которые не обязательно верны:
(I) Если многоугольник, вписанный в окружность, является равносторонним, то он также и равноугольный.
(II) Если многоугольник, вписанный в окружность, является равноугольным, то он также и равносторонний.
(III) Если многоугольник, описанный вокруг окружности, является равносторонним, то он также и равноугольный.
(IV) Если многоугольник, описанный вокруг окружности, является равноугольным, то он также и равносторонний.
(a) Установите, какие из этих четырех предложений верны и какие неверны, давая в каждом случае доказательство вашего утверждения.
(b) Если вместо произвольных многоугольников мы рассматривали бы только четырехугольники, то какие из этих четырех предложений были бы верны и какие неверны?
(c) Как обстоит дело с пятиугольниками?
(d) Можете вы догадаться о каких-нибудь более широких утверждениях или, быть может, даже доказать их? Они должны объяснить ваши наблюдения (Ь) и (с).
5. Пусть а, Р и v — углы треугольника. Покажите, что
<а) sin a -J- sin 8 -j- sin у = 4 cos ^- cos ~ cos ~,
(b) sin 2a + sin 26 + sin 2y = 4 sin a sin 6 sin y,
(c) sin 4a -4- sin 4p + sin 4y — — 4 sin 2a sin 26 sin 2y.
.
Комментарий:
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :
Автор :