Следует отметить, что предыдущее находится в согласии с тем, что мы говорили по поводу соперничающих предположений в § 13. 12, и несколько уточняет схему правдоподобного рассуждения, рассмотренную в § 12. 3.
Вездесущая гипотеза случайности является альтернативой к любому другому виду объяснения. Это, по-видимому, глубоко коренится в человеческой природе. «Нарочно или нечаянно?» «Существует ли определенная причина или это только случайное совпадение?» Какой-то вопрос такого рода приходит в голову почти при каждом обсуждении или обдумывании, в обычной беседе и в судебном заседании, в повседневных делах и в науке.
10. Оценка математических предположений. Сравним некоторые примеры, рассмотренные в предшествующих главах, друг с другом и с примерами, рассмотренными в предыдущем параграфе.
(1) Вспомним историю замечательного открытия, рассказанную в § 2. 6. Эйлер исследовал бесконечный ряд
1 +\ + -д + "/б + 25 + • ■ - + ^ + ■■■
Сначала он нашел различные преобразования этого ряда. Затем, пользуясь одним из этих преобразований, он получил приближенное числовое значение для суммы ряда, значение 1,644934. Наконец, с помощью нового и дерзкого приема он догадался, что сумма ряда равна зх2/6.
Эйлер сам чувствовал, что его прием был дерзким, даже вызывающим возражения, но он имел достаточные основания верить в свое открытие: значение, найденное с помощью числовых выкладок, 1,644934, в тех знаках, которые были вычислены, совпадало с угаданным значением
-^-=1,64493406 . . . .
и Эйлер был уверен. Однако была ли его уверенность разумной? Такое совпадение -может быть вызвано случайностью?
Действительно, не вполне невозможно, чтобы такое совпадение было вызвано случайностью; однако имеется один шанс на десять миллионов, чтобы случилось такое совпадение: вероятность того, чтобы такое совпадение семи десятичных знаков произошло по случайности, просто интерпретированной, равна 10~7; ср. § 9(3) и пример П. И поэтому мы не должны порицать Эйлера за то, что он отверг объяснение случайным совпадением и оставался верным своей догадке л2/6. В конце концов он доказал, что его догадка была верна. Но мы не должны придавать слишком большого значения тому факту, что это было доказано. С доказательством или без доказательства догадка Эйлера сама по себе является не только блестящей, но и разумной.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Радомир:
Легче переносить терпеливо то, что нам не дано исправить.