Итак, мы прямо подтвердили то, что ранее обнаружили с помощью другого метода.
(2) Найти максимум площади многоугольника, вписанного в данную окружность и имеющего данное число сторон.
Дана окружность. На этой окружности мы должны так выбрать п вершин U, . . . , W, X, Y и Z многоугольника, чтобы площадь стала максимальной. В точности, как и в предыдущей задаче (1), главная трудность, по-видимому, состоит в том, что имеется много переменных (вершины V, W, X, Y и Z). Нам следует, пожалуй, испробовать метод, работавший в предыдущей задаче. В чем суть этого метода?
Рассмотрим задачу как почти решенную. Представим себе, что мы уже получили искомое положение всех вершин, за исключением одной, скажем X. Другие п — 1 точек, U, . . . , W, Y и Z, уже фиксированы, каждая в том положении, в котором она должна находиться, но нужно еще так выбрать X, чтобы площадь стала максимальной. Вся площадь, однако, состоит из двух частей: многоугольника
U. . .
WYZ с и—1 фиксированной
-_ вершиной, который от X не зави-
-------------------- сит, и треугольника WXY, зави-
--^^^—1- r^-v-- сящего от X. Сосредоточим свое
У1^1-— внимание на этом треугольнике,
Y£i-площадь которого, когда вся пло-
/ \\ щадь становится максимальной,
„ „ „ также должна стать максимальной;
Рис. 8. 6. Треугольник максималь- „ с „
ной площади см- Рис 8-6- Основание WY тре-
угольника WXY фиксировано. Если вершина X движется по параллели к основанию WY, то площадь остается постоянной; такие параллели к WY являются линиями уровня. Выберем касательную линию уровня: касательную к окружности, параллельную основанию WY. Ее точка касания, очевидно, есть положение вершины X, обращающее площадь треугольника WXY в максимум. Когда X займет это положение, треугольник станет равнобедренным, WX=XY. Если площадь многоугольника максимальна, то две соседние стороны должны быть равны. Но то же самое рассуждение применимо и к любой паре соседних сторон: когда достигается максимум площади, все стороны должны быть равны, и, таким образом, вписанный многоугольник максимальной площади должен быть правильным.
5. Схема частного изменения. Сравнивая два примера, рассмотренные в предыдущем параграфе (§ 4), мы легко обнаруживаем некоторые общие черты и общую схему решения. В обеих задачах мы разыскивали экстремум (минимум или максимум) величины, зависящей от нескольких переменных элементов. В обоих решениях мы на время фиксировали все первоначально переменные элементы,
.
Комментарий:
Автор Римма:
Бди...
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.