подходящим частным случаем. Новая теорема может также явиться результатом проведения параллели» Ч.
12. Существует прямая, соединяющая две данные точки. Числа рас-
положенные в виде бесконечного квадрата,
л0 л, л2 л3 . . . нп . . . Aft' Л|-' Щ> Л'321 . . . А* . . .
A[k) ,{k) A(k) A(k)
связаны с функцией / (х). (Они выводятся из разложения f (х) по степеням х;
А^ и / (х) предполагаются действительными. ) Э. Лагерр открыл, что V (k),
число перемен знака в k-ii строке, Л{*', Л|*\ А^\ . . . , таблицы связано с R,
числом корней уравнения f (х) = 0, находящихся между 0 и 1 (границы исключаются):
V (k) =э R,
и когда k растет, V (k) может только убывать или оставаться постоянным.
Не достигнет ли в конце концов R никогда не возрастающее V (k)? Лагерр предложил этот вопрос, но оставил его неразрешенным. М. Фекете доказал, что если R — 0, то V (k) в конечном счете достигает R, и этот частный случай подсказывает предположение, что V (k) всегда достигает R. Мне настолько повезло, что я подметил другую связь между числами Лл*' и функцией / (х): существуют некоторые положительные числа (не зависящие от функции / (х)), такие, что Hm А^/В^ —f (0) при фиксированном п,
lim А^/В^ = /(1) при фиксированном k,
ГС -*00
т. е. вертикальное направление в бесконечной квадратной таблице связано с f (0), горизонтальное — с f (1). Эти два крайних направления, вертикальное и горизонтальное, могут напомнить вам две крайние точки, которые требуется соединить: что можно сказать о промежуточных наклонных направлениях? Только на мгновение примите предположение, которое мы хотим доказать, без доказательства: оно влечет за собой некоторую связь между промежуточными направлениями и значениями, которые принимает f (х), когда х изменяется между 0 и 1. Это наводит на мысль, что А^/В^ может стремиться к / (х), где х как-то связан с пределом nlk. В самом деле, я в конечном счете нашел, и это даже было легко доказать, что
lim А^/В1^ ~f{x), если Hm n/(n + k) = x.
k, п ->00
Это соотношение оказалось ключом к решению задачи Лагерра.
13. Существует^прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Проведение параллели. В связи с рядом Фурье положительной функции I {х):
со
f (х) — а0А-2 2 (ап cos пхфЪп sin пх), 1
Ч Ср. Полна Г. и Сеге Г. , Задачи и теоремы из анализа, М. , 1956, т. 1, стр. 11.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Hakim:
Поощрение столь же необходимо гениальному писателю, сколь необходима канифоль смычку виртуоза.
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.