Но как автор мог бы оправдать его с самого начала? Полное оправдание требует некоторого времени; оно дается полным доказательством. Что нужно —это не полное, а неполное оправдание, правдоподобный предварительный довод, просто намек, что этот шаг имеет некоторые шансы на успех, короче, некоторое эвристическое оправдание.
6. Рассказ о другом открытии. Почти нет необходимости напоминать читателю, что лучшие рассказы не представляют правды в чистом виде. Они должны, однако, содержать некоторые существенные элементы правды, в противном случае они не были бы даже хорошими. Нижеследующее является несколько «рационализированным» изложением шагов, которые привели меня к доказательству, изложенному в § 4; иными словами, в нем должным образом подчеркивается эвристическое оправдание последовательных шагов.
Теорема, доказанная в § 4, сама по себе удивительна. Мы удивлялись бы меньше, если бы знали, как она была открыта. Мы естественно приходим к ней, пытаясь доказать теорему. Если ряд с положительными членами
й1 + аг + аа +. . . + ап +. . .
сходится, то и ряд
ах + (ахаг)^ + Oi«2a3)1/3 +. . . 4- (а^аз . .
. апУ<п 4-. . .
также сходится. Я попытаюсь подчеркнуть некоторые соображения, которые могут нам помочь найти доказательство.
(1) Подходящая известная теорема. Естественно начать с обычных вопросов.
В чем состоит посылка? Мы допускаем, что ряд ^ ап сходится, что его частные суммы остаются ограниченными, что
ai + а2 + • • -4~ ап не велико. В чем состоит заключение? Мы хотим доказать, что сходится ряд 2 («1^2 • • • что
. . . ап)1/п мало.
Знаете ли вы теорему, которая могла бы оказаться полезной? Что нам нужно — это какая-нибудь связь между суммой п положительных величин и их средним геометрическим. Встречали ли мы ранее что-нибудь в этом роде? Если вы когда-нибудь слышали о неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, то довольно велика вероятность, что вам придет на ум эта связь:
(а1а2. . :ап)^^а^+-+а\ (a. -g. )
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :