1П. ИНДУКЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ
В самой математике главные средства достигнуть истины — индукция и аналогия. — Лаплас1)
1. Многогранники. «Сложный многогранник имеет много граней, углов и ребер». Какое-нибудь туманное замечание такого рода легко приходит в голову почти всякому, кто имел какое-либо соприкосновение с пространственной геометрией. Не так много людей, однако, захотят сделать серьезное усилие, чтобы углубиться в это замечание и отыскать за ним какую-нибудь более точную информацию. Правильно было бы ясно различить участвующие величины и задать какой-нибудь определенный вопрос. Обозначим поэтому число граней, число вершин и число ребер многогранника соответственно через Г, В и Р (начальные буквы соответствующих слов) и поставим такой четкий вопрос: «Всегда ли верно, что число граней возрастает, когда возрастает число вершин? Непременно ли Г возрастает вместе с В?»
Для начала мы едва ли можем сделать что-либо лучшее, чем исследовать примеры, конкретные многогранники. Так, для куба (тело I на рис. 3. 1)
Г=6, 5=8, Р=12. Или для призмы с треугольным основанием (тело II на рис.
3. 1)
Г=5, В = 6, Р = 9.
Раз уж мы выбрали такой путь, нам, естественно, нужно просмотреть и сравнить различные тела, например, те, которые показаны на рис. 3. 1. Именно, помимо уже упомянутых I и II, здесь изображены следующие тела: призма с пятиугольным основанием (III), пирамиды с квадратным, треугольным и пятиугольным основаниями (IV, V, VI), октаэдр (VII), «башня с крышей» (VIII, пирамида, поставленная на верхнюю грань куба, как на основание) и «усеченный куб» (IX). Сделаем маленькое усилие воображения и представим себе эти тела одно за другим достаточно ясно, чтобы сосчитать грани, вершины и ребра. Найденные числа записаны в следующей таблице:
!) Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, М. , 1908, стр. 7.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор Радомир:
Легче переносить терпеливо то, что нам не дано исправить.