Существуют частные случаи, когда важнее учить догадываться, чем доказывать. Возьмите преподавание дифференциального и интегрального исчисления студентам технических учебных заведений. (Я имею длительный и разнообразный опыт такого преподавания. ) Инженерам нужна математика, совсем немногие из них имеют здоровый интерес к математике, но они не приучаются понимать е-доказа-тельства, не имеют времени для е-доказательств, не интересуются £-доказательствами. Преподавать им правила дифференциального и интегрального исчисления как догму, ниспосланную свыше, было бы непедагогично. Делать вид, что ваше доказательство является полным, когда на самом деле это не так, было бы нечестно. Спокойно признайте, что ваши доказательства являются неполными, но дайте достойные правдоподобные основания для неполно доказанных результатов, пользуясь примерами и аналогией. Тогда вам не нужно будет стыдиться поддельных доказательств, и некоторые студенты смогут помнить то, чему вы их учили, и после экзаменов. На основании долгого опыта я сказал бы, что одаренным студентам технических учебных заведений обычно более доступны хорошо изложенные правдоподобные доводы, чем строгие доказательства, и студенты более благодарны таким доводам.
Я сказал, что желательно учить догадываться, но не сказал, что этому учить легко. Нет никакого абсолютно верного метода для догадок, и потому не • может быть никакого абсолютно верного метода для обучения тому, как догадываться. Я мог, пожалуй, в предыдущем сказать несколько глупостей, но, надеюсь, я избежал наибольшей глупости — претензии на то, что у меня есть безошибочный метод, позволяющий учить догадываться.
Тем не менее учить догадываться не невозможно.
Я надеюсь, что в этом отношении могут оказаться полезными некоторые из подробно объясненных примеров и некоторые из предложенных в этой книге упражнений. Они имеют наилучшие шансы попасть на плодородную почву у преподавателей, имеющих длительный опыт в решении задач.
Возьмите, скажем, пример, рассмотренный в §§ 4 и 6. Два изложения в §§ 4 и 6 очень' различны. Наиболее бросающееся в глаза различие состоит в том, что одно из них короткое, а другое длинное. Наиболее существенное различие состоит в том, что одно дает доказательства, а другое — правдоподобности. Одно предназначено для того, чтобы проверить доказательные заключения, оправдывающие последовательные шаги. Другое приспособлено для того, чтобы дать известную возможность заглянуть в эвристические мотивы некоторых шагов. Доказательное изложение следует принятому способу, обычному со времен Евклида; эвристическое изложение крайне необычно в печати. Однако наблюдательный преподаватель может пользоваться обоими способами изложения. Действительно, он мог бы придумать, если нужно, третье изложение, находящееся между
.
Комментарий:
Автор Мелентий:
Мысль о смерти более жестока, чем сама смерть.
Автор :
Автор :