т. е. у него несколько меньшие шансы, чем один шанс на 60. Мы можем колебаться, следует ли нам приписать подтверждение предполагаемого соотношения простой случайности или нет. Однако если нам удается убедиться, что оно верно и для другого многогранника с Г, В и Р приблизительно такими же, как для икосаэдра, и мы склонны рассматривать эти два подтверждения как независимые, то мы встречаем событие (совместное подтверждение в обоих случаях) с вероятностью, меньшей чем (1/60)2; шансов произойти для этого события меньше чем 1 шанс на 3600, и поэтому его уже труднее объяснить случайностью. Если подтверждения продолжаются без перерыва, то раньше или позже наступит момент, когда мы почувствуем себя обязанными отвергнуть объяснение случайностью.
(3) В предыдущем примере мы не должны делать особого ударения на полученных нами численных значениях вероятностей. Для руководства нашим суждением ясное понимание того, что вероятность неуклонно возрастает, когда подтверждение следует за подтверждением, пожалуй, полезнее, нежели найденные числовые значения. Как бы то ни было, существуют случаи, когда было бы трудно предложить подходящую статистическую гипотезу и, таким образом, невозможно вычислить нужные вероятности и когда тем не менее исчисление вероятностей все еще дает полезные указания.
В § 4. 8 мы сравнили два предположения относительно суммы четырех квадратов. Назовем их соответственно предположением А и предположением В. Предположение А (которое мы открыли в конце § 4.
6) выдвигает замечательное правило, точно определяющее, сколькими способами' целое число некоторого вида можно представить в виде суммы четырех нечетных квадратов. Предположение В (предположение Баше) утверждает, что любое целое число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов одним или более способами. Каждое из этих двух предположений предлагает предсказание в отношении суммы четырех квадратов, но предсказание, предлагаемое А, точнее предлагаемого В. Именно для того, чтобы это подчеркнуть, рассмотрим на минуту совершенно неправдоподобное допущение. Допустим, что из какого-то (таинственного) источника мы знаем, что в известном случае число представлений имеет равные шансы принять любое из г 4-1 значений 0, 1, 2, . . . , г и не может принять значения, превосходящего г, которое является очень большим числом (и это должно иметь место и при условиях, требуемых в Л, и при условиях, требуемых в 5,— довольно нелепое допущение). И вот, А предсказывает, что число представлений имеет определенное значение; В предсказывает, что это число больше нуля. Поатому вероятность того, что при этом допущении окажется верным А, равна 1/(г4-1), тогда как вероятность того, что окажется верным В, равна г/(г 4-1). В действительности и А и В в этом случае оказываются верными; оба предположения подтверждаются, и возникает вопрос, какое подтверждение дает более убедительные
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :