О, то, очевидно, в точке г = 1 ряд расходится, так как его общий член не стремится к 0. Следовательно, радиус сходимости такого степенного ряда 1. Крайнее значение 1 радиуса сходимости может достигаться. Очевидный пример — ряд
1 + г + г2+ . . . + г"+
он представляет функцию крайне простого аналитического характера, рациональную функцию 1/ (1 — г). Вот другой пример:
z + z3 + ze4-. . . -fzrei-T-. . . ;
он представляет функцию крайне сложного аналитического характера, непро-должаемую функцию. (Это наиболее обычный пример ряда, для которого граница круга сходимости является особой линией. ) Эти два очевидных примера являются примерами функций противоположной природы. Однако, удивительным образом, любой степенной ряд с целыми коэффициентами и радиусом сходимости 1, аналитическую природу которого эффективно можно установить, оказывается похожим на один из этих двух противоположных примеров: он представляет или рациональную функцию, или непродолжаемую функцию. Теоремы Э. Бореля и П. Фату показывают, что обширные классы функций промежуточной природы не могут быть представлены таким рядом. Когда автору удалось доказать подобные же теоремы и справиться с многими примерами, он извлек установочные доводы -для гипотезы: «Наиболее простые продолжаемые аналитические функции, представляемые степенным рядом с целыми коэффициентами и радиусом сходимости 1, функции, заведомо рациональные, являются единственными такими функциями». Иными словами, «Если радиус сходимости степенного ряда с целыми коэффициентами достигает крайнего значения 1, то представляемая им функция необходимо является функцией крайнего характера: она — крайне простая, рациональная функция или крайне сложная, непродолжаемая функция».
15. Установление моды. Сила слов. Этот пример имеет различные аспекты, которые я попытаюсь изложить один за другим.
(1) Э.
Лагерр открыл несколько последовательностей действительных чисел
Oq, а1г а2, . . . , а„,
обладающих следующим любопытным свойством: если (в остальном произвольное) уравнение степени п
а0 + ахх + аус2 + . . . + апхп = 0 (I)
имеет только действительные корни, то и уравнение
а0а0 + ахахх + а2а2л:2 + • • • + апапхп = 0 (II)
(в которое наша последовательность а0. . . . . ап преобразует (I) ) будет иметь:
действительные корни. Лагерр предложил, но оставил нерешенной задачу: найти простое необходимое и достаточное условие, характеризующее последовательности этого рода.
Легко найти необходимые условия: просто применим последовательность желаемого рода к любому уравнению, про которое известно, что оно имеет только действительные корни, и тогда получим преобразованное уравнение, все корни которого необходимо являются действительными. Например, применяя последовательность а0, аъ . . . , 6сп к уравнениям
l_x2=o, х2 — л^=0, х* — Xs = 0, . . . ,
имеющим, очевидно, только действительные корни, легко находим, что числа а0, Oj, а4, а6, . „ необходимо одного знака, все они положительны или все отрицательны (в широком смысле: 0 не исключается). Применяя ту же последовательность к уравнениям
х — Xs = 0, хя — х6 = 0, х6 — х7 = 0, . . . , •
.
Комментарий:
Автор Stalina:
Поговорите с человеком о нем, и он будет слушать вас часами.
Автор :
Автор :