Назовем это правило «Общим правилом последования». Наиболее известный частный случай относится к т' = 1; если т вытаскиваний дали только белые шары, то вероятность того, что и следующее вытаскивание даст белый шар, равна
т+1 т+2*
Назовем это «Специальным правилом последования» !)•
Приемлемы ли эти правила, если «белые шары» мы будем интерпретировать как «находящиеся в согласии наблюдения одной и той же природы», а «вероятность» — как «степень разумной уверенности»? Этот вопрос уместен, и мы его обсудим.
(1) Рассмотрим снова наш первый пример индуктивного рассуждения. Предположение Гольдбаха утверждает, что, начиная с 6 = 3 + 3, любое четное число является суммой двух простых нечетных чисел. Таблица в § 1. 3 подтверждает это предположение для четных чисел до 30. Убедившись, что оно верно до 30, мы с большей или меньшей уверенностью ожидаем, что оно окажется верным и в следующем случае, для 32. Специальное правило последования можно понимать как означающее следующее: после того, как предположение Гольдбаха подтвердилось в первых т случаях, мы имеем право ожидать, что оно подтвердится в следующем случае с вероятностью
m+l 1
т + 2" ~ т + 2'
Разберемся в том, что это значит. Когда т возрастает, вероятность также возрастает; в самом деле, чем больше случаев подтвердилось в прошлом, тем более уверенно мы ожидаем, что предположение подтвердится в следующем случае. Если т стремится к оо, то вероятность стремится к 1: накапливая все больше и больше подтверждений, мы могли бы надеяться все ближе и ближе подойти к достоверности. Рассмотрим теперь разность между двумя вероятностями, одна из которых соответствует /и+ 1, а другая т предшествующим подтверждениям:
/и+ 2 _ т-\- 1__1
m + 3 m + 2 — (от+ 2) (m-f-3)*
Когда т возрастает, эта разность убывает: верно, что каждое новое подтверждение увеличивает нашу уверенность, но увеличивает все меньше и меньше, когда это подтверждение производится после все большего и большего числа предшествующих сходных подтверждений. (Сходство подтверждений в этом месте существенно; ср. § 12. 2.
)
Перейдем теперь к Общему правилу последования. Его можно понимать как означающее следующее: после того, как предположение Гольдбаха подтвердилось в первых т случаях, мы имеем право ожидать, что оно подтвердится в следующих от' случаях с вероятностью
m+ 1 m-)-m' + l*
Если мы фиксируем т', а т будем увеличивать, то эта вероятность будет убывать: в самом деле, чем дальше мы пытаемся предсказать будущее на основании прошлых наблюдений, тем менее уверенно мы его можем предсказать. Если т' неограниченно возрастает, то вероятность стремится к 0. В самом деле, подтверждение для всех значений т' означало бы, что предположение Гольдбаха истинно. Очевидно, на основании данного числа т наблюдений мы не можем утверждать, что предположение истинно. Из этого правила, по-видимому, следует более сильное утверждение: на основании т наблюдений мы не можем даже приписать предпо-
Ч Это несколько отличается от обычной терминологии. Ср. К е у n е a J. М. , A treatise on probability, p. 372 — 383.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.
Автор :