(b) Предположение подтверждается для л = 1, 2, когда R имеет произвольную форму. Этот частный случай очень отличен от случая, упомянутого в (а).
(c) Предположение подтвердилось числовыми выкладками в нескольких частных случаях, в которых собственные значения могут быть вычислены в явном виде: для л до 25 и для специальных форм R (круг, несколько круговых секторов, несколько треугольников).
(d) Было давно известно, что
Ul Ц-2 ^= ^2» Цз ^= ^3 >
Это находится в согласии с предположением.
(e) Известно также, что
lim ця«_1= lim %пп'1 = АпА~г,
и это также находится в согласии с предположением.
Конечно, никакое количество таких подтверждений не может доказать предположения или заставить кого-либо в какой-то степени в него поверить. Однако такие подтверждения могут повысить интерес к предположению, подтолкнуть нас к испытанию дальнейших следствий и прибавить «изюминку» к научному исследованию, которое является raison d'etre предположения.
Технические детали о сформулированном предположении (за часть из которых я чрезвычайно обязан Петеру Сеге) будут опубликованы где-нибудь в другом месте.
19. Еще одно новое предположение. «Если F' (х) — алгебраическая функция и все коэффициенты alt я3, а3, . . . ряда
F (х) = ахх + а2х2 4- а3х3 + . .
.
являются целыми числами, то F (х) — также алгебраическая функция». Иными словами: «Если интеграл от алгебраической функции не является сам алгебраической функцией, то он не может быть представлен степенным рядом с целыми коэффициентами».
Для иллюстрации рассмотрим разложение
™2х=22(2я)1+т-
О
Производная от arcsin 2х /есть алгебраическая функция, и все коэффициенты разложения этой производной являются целыми, как мы видим из приведенной выше формулы. Поэтому если рассматриваемое предположение верно, то в написанном выше разложении должно быть бесконечно много коэффициентов, не являющихся целыми числами. В этом легко убедиться: если 2п 4- 1 — простое число, то оно не является делителем числа (2п)\. Итак, исследованный случай подкрепляет предположение, которое подкрепляется также (и было подсказано) следующим фактом: если в предлагаемое предположительное утверждение вместо слов «алгебраическая функция» мы подставим слова «рациональная функция», то мы изменим его в верное и доказанное утверждение. Предположение подкрепляется также довольно смутными аналогиями, «атмосферой», окружающей вопрос о степенных рядах с целочисленными коэффициентами; см. пример 14.
Существует много случаев, сходных со случаем arcsin 2х, которые легко могли бы быть проверены, но еще не исследованы. Без тщательного исследования этих доступных следствий такое предположение не следовало бы печатать. Я публикую его здесь как пример неразвитого, недостаточно еще подкрепленного предположения.
20. Что типично} Насколько я могу судить, в последних примерах (примеры 12—19) нет ничего, что не было бы согласно с общим впечатлением,
.
Комментарий:
Автор Vanda:
Все, что следовало сделать в литературе по-шекспировски, в основном сделал уже Шекспир.
Автор :
Автор :