по одному шару, возвращая вытащенный шар перед тем, как вытащить следующий, как это подробно описано в § 2 (1). Однако мы принимаем в расчет только шары с В. Если среди первых п таких вытащенных шаров имеется т шаров, помеченных также и Л, то т/п есть относительная частота, которая, когда п достаточно велико, должна приближенно равняться Р {А/В}. Кажется довольно очевидным, что
Действительно, среди Ъ + с шаров с В имеется с шаров с Л; можно повторить и рассуждение из § 2 (1); с известной точки зрения мы могли бы в качестве определения рассматривать и указанное выражение Р {А/В}. Как бы то ни было, сравнивая выражения входящих сюда вероятностей, легко находим, что
Р {А/В} = Р {АВ}/Р {В}. Меняя местами Л и В, находим второе фундаментальное правило (правило «и») Р {АВ} = Р {А} Р {В/А} = Р {В} Р {А/В}. (2)
Из (1) и (2) мы можем вывести много других правил. Замечая, что Р{А или Л} = 1, Р{л1}=0, из (1) получаем, подставляя А вместо В,
Р{А\ + Р(А}=1, (3)
что мы, конечно, могли бы увидеть и непосредственно. Подобным же образом, так как
Р {АВ или А В} = Р. {В}, Р {(АВ) (АВ)} = О,
из (1) получаем, подставляя АВ вместо Л и АВ вместо В,
Р {В} = Р {АВ} + Р {АВ}. (4)
Отметим здесь следующее обобщение (2):
Р {АВ/Н} = Р {А/Н} Р {В/НА} = Р {В/Н} Р {А/НВ}. (5)
Мы можем также ясно увидеть (5), пользуясь мешком и шарами.
27.
Независимость. Мы называем два события независимыми друг от друга, если наступление (или ненаступление) одного из них не оказывает никакого влияния на шансы другого. Оставим, однако, на время это неформальное определение и рассмотрим два следующих формальных определения:
(I) Л называется независимым от В, если
Р {А/В} = Р {А/В}.
(II) Л и В называются взаимно независимыми, если
Р {А/В}= Р {А/В} = Р {А}, Р {В/А} = Р {В/А} = Р {В}.
Очевидно, если Л и В взаимно независимы, то Л независимо от В. Пользуясь правилами примера 26, докажите теорему: Если ни одна из вероятностей Р {Л}, Р {В},Р {а}, Р {В} не равна нулю и если любое из двух событий А и В независимо от другого, то они взаимно независимы.
28. Сравните § 3(5) с примером 27.
29. Машина, следующая из города М в город N, может проехать через город Л, а также через город В. Это верно для обеих систем дорог (I) и (II), изобра-
.
Комментарий:
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.
Автор Мелентий:
Мысль о смерти более жестока, чем сама смерть.
Автор :