О. Тёплиц рассмотрел уравнение относительно к
а0 — % Oi — ibt . . . ал_1 —№я_1 ai + ibi а0 — % . . . а,
= 0.
Его исследование обнаружило, что п корней этого уравнения
^л1> ^ла> ^лЗ> ••• » кпп
«имитируют» п равноотстоящих значений функции f (х)
'(?)• '(*)• '(¥)•
Например, среднее арифметическое гс корней
4- 4-. . . 4-
= а0
соответствует пределу
lim
Попытаемся провести параллель: среднее геометрическое п корней
\KxKz ••• Kn\Xln = Dx'\
где Dn обозначает определитеть я-го порядка, который мы получаем, полагая X = 0 в левой части уравнения (*). Оно может соответствовать пределу
2Я
2nn\j]
\/п
_ \ XnfWdx
На этом этапе естественно поискать удобный частный случай. Для частной функции
/ (х) — а0 4- 2at cosa: 4- 2bx sinx нетрудно вычислить Dn и lim D]/n, и этот предел оказывается равным значению (**): общее направление исследования встретилось с подходящим частным случаем, и было бы трудно не высказать предположение: для любой положительной функции f (х)
2л
„ 2л \ '"><*> <*
lim Dln/n = e °
п—*со
14. Наиболее очевидный случай может оказаться единственным возможным случаем.
Если коэффициенты а0, аи а?, . . . , ап, . . . степенного ряда
а0 + %г + aof 4- . . . 4- апгп + . . .
являются целыми числами, среди которых бесконечное множество отлично от
.
Комментарий:
Автор :
Автор Гедеон:
Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.
Автор :