IV. ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В теории чисел довольно часто случается, что благодаря какой-то неожиданной удаче наиболее изящные новые истины возникают с помощью индукции. — Гаусс1)
1. Целочисленные прямоугольные треугольники2). Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником, так как
334-42 = 52.
Это простейший пример прямоугольного треугольника, стороны которого измеряются целыми числами. Такие «целочисленные прямоугольные треугольники» играли важную роль в истории теории чисел; даже древние вавилоняне открыли некоторые из их свойств.
Вот одна из наиболее очевидных задач, касающаяся таких треугольников:
Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число п? ■
Сосредоточим свое внимание на этой задаче. Мы разыскиваем треугольник, гипотенуза которого измеряется данным целым числом п, а катеты какими-то целыми числами х и у. Можно принять, что х обозначает больший из двух катетов. Следовательно, для данного п мы разыскиваем два целых числа х и у, такие, что
п2 = х2+у\ 0<_у<дг<л.
Мы можем подойти к задаче с помощью индукции, и, если только мы не владеем какими-нибудь специальными знаниями, у нас никакого другого пути и нет. Возьмем пример. Выберем я=12. Итак, мы ищем два положительных целых числа х и у, таких, что х^у и
144 = д:24-У-
Какие значения может принимать х27 Вот какие:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121.
!) Gauss, Werke, Vol. 2, S. 3.
2) Части этой главы уже были напечатаны под заглавием «Let us teach guessing* («Научимся догадываться») в книге Etudes de philosophie des sciences en hommage a Ferdinand Gonseth, editions du Griffon, 1950, p. 147—154.
.
Комментарий:
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор :
Автор :