Математика и правдоподобные рассуждения

Индукция в теории чисел

IV. ИНДУКЦИЯ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

В теории чисел довольно часто случается, что благодаря какой-то неожиданной удаче наиболее изящные новые истины возникают с помощью индукции. — Гаусс1)

1. Целочисленные прямоугольные треугольники2). Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником, так как

334-42 = 52.

Это простейший пример прямоугольного треугольника, стороны которого измеряются целыми числами. Такие «целочисленные прямоугольные треугольники» играли важную роль в истории теории чисел; даже древние вавилоняне открыли некоторые из их свойств.

Вот одна из наиболее очевидных задач, касающаяся таких треугольников:

Существуют ли целочисленные прямоугольные треугольники, гипотенузой которых является данное число п? ■

Сосредоточим свое внимание на этой задаче. Мы разыскиваем треугольник, гипотенуза которого измеряется данным целым числом п, а катеты какими-то целыми числами х и у. Можно принять, что х обозначает больший из двух катетов. Следовательно, для данного п мы разыскиваем два целых числа х и у, такие, что

п2 = х2+у\ 0<_у<дг<л.

Мы можем подойти к задаче с помощью индукции, и, если только мы не владеем какими-нибудь специальными знаниями, у нас никакого другого пути и нет. Возьмем пример. Выберем я=12. Итак, мы ищем два положительных целых числа х и у, таких, что х^у и

144 = д:24-У-

Какие значения может принимать х27 Вот какие:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121.

!) Gauss, Werke, Vol. 2, S. 3.

2) Части этой главы уже были напечатаны под заглавием «Let us teach guessing* («Научимся догадываться») в книге Etudes de philosophie des sciences en hommage a Ferdinand Gonseth, editions du Griffon, 1950, p. 147—154.

.

 

Комментарий:
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор :
Автор :

Ваше имя:

Комментарий:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Информация