находим, что и числа alt а3, а5, а7, . . . необходимо одного знака. Используя эти замечания и применяя последовательность к уравнению
1 + ^)*+(5)^ + . . . + *« = 0 (Ш>
(всё п корней которого равны —1), получаем необходимое условие, что все корни уравнения
a0+^ja1x + ^a2x* + . . . +anx" = 0- (IV)
являются действительными и имеют одинаковый знак.
Мы получили это последнее условие путем накопления необходимых условий. Их должно было накопиться уже довольно много; но настолько ли много, чтобы образовать достаточное условие? Если бы это было так, то имело бы место следующее любопытное предложение: «Если оба уравнения (I) и (IV) имеют только действительные корни, и все корни уравнения (IV) одного знака, то и уравнение (II) имеет только действительные корни».
(2) Это предположение пришло мне в голову довольно рано, но я не мог в него поверить: оно выглядело слишком странно. Однако в случае п = 2 предположение легко подтвердилось (случай п = I совершенно тривиален).
Позднее случайно я наткнулся на теорему, доказанную Мало: Если уравнение (I) имеет только действительные корни, а уравнение
а0 4- ахх + а2х2 4-. . . + апхп = О
имеет только действительные корни одного знака, то уравнение (II) должно иметь только действительные корни. Теорема Мало была явно аналогична этому странному предположению, и в результате оно стало казаться значительно менее странным. Более того, теорема Мало, в чем я легко смог убедиться, была следствием этого предположения, и, таким образом, подтвердилось еще одно широкое и важное следствие предположения: это предположение стало казаться намного более сильным.
(3) Как легко видеть, это предположение следующим образом можно высказать иначе: «Если последовательность положительных чисел а0> аг, . . .
, ал преобразует уравнение (III) в уравнение, имеющее только действительные корни, то произвольное уравнение, имеющее только действительные корни, оно преобразует в уравнение той же природы». Другими словами, уравнение (III) устанавливает моду: его отклику на последовательность а0, Oj, . . . , ап подражают все уравнения, все корни которых действительны.
(4) Почему уравнение (III) устанавливает моду? Потому что все его корни совпадают. Этот ответ в каком-то смысле является «правильным» ответом. Во всяком случае, как я обнаружил позднее, уравнения (или функции), все корни (или нули) которых совпадают, в нескольких аналогичных задачах играют аналогичную роль: они устанавливают моду (они являются «tonangebend» *)).
Однако, когда рассматриваемое предположение было еще предположением, я прибег к следующему «объяснению». Все корни уравнения (III) равны —1. Все эти корни стиснуты в одной точке действительной оси, они так близки друг к другу, как это только возможно. В такой ситуации они, понятно, наиболее склонны выпрыгнуть из действительной оси. Поэтому если последовательности а0, аь . . . , ап, когда она применяется к многочлену (1 4- х)п с наиболее стиснутыми корнями, не удается выбить из действительной оси эти корни, то она имеет еще меньше шансов выбить менее стиснутые корни других многочленов.
Логическая ценность этого «объяснения», очевидно, равна нулю, но из этого не следует, что равна нулю и его психологическая ценность. Я убежден, что эта
г) То есть они «задают тон» (нем. ). — Прим. перев.
.
Комментарий:
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор :
Автор Benedikta:
Исключить из наших наслаждений воображение - значит свести их на нет.