случаев только один (алфавитный порядок) является благоприятствующим. Следовательно, искомая вероятность равна \/Рп.
(3) Результаты, выведенные в (1) и (2), должны быть одинаковы. Сравнивая их, находим Рп:
Рп=\. 2. 3. . . л = л!.
31. Сочетания и вероятность. М-с Смит купила п яиц, не зная, что г из этих яиц Жухлые. Ей нужны г яиц, и она выбирает их из своих п яиц наугад. Какова вероятность того, что все г выбранных яиц окажутся тухлыми?
Как и в примере 30, мы изложим два решения, и из их сравнения выведем заключение.
(1) Пусть £] — событие, состоящее в том, что первое разбитое м-с Смит яйцо оказалось тухлым, Е2 — событие, состоящее в том, что второе яйцо оказалось тухлым, и т. д. Искомая вероятность равна
Р{Е1Е1ЕЯ. . . ЕГ] =
=Р {EJ Р {E,JEX} Р {Е31ЕХЕ2} . . . Р {ЕГ1ЕХ . . . Ег^} =
— Л г ~~1 г~2 1
п п—1 я —2'" л —r-f-1'
Первое преобразование получается по правилам (2) и (5) примера 26, второе — из рассмотрения возможных и благоприятствующих случаев для £ь для Е2 после Ei, и т. д.
(2) Имеем множество из п различных предметов.
Любые г предметов, выбранных среди этих п предметов, образуют подмножество мощности г данного множества мощности п; обозначим через С' число всех таких подмножеств. (Обычно Сп называется числом «сочетаний» из п элементов по г. ) В случае яиц м-с Смит имеется Сгп возможных случаев, ни один из которых не имеет преимуществ по сравнению с другими, и среди этих Сгп случаев только один благоприятствующий (если получение тухлых яиц можно называть «благоприятствующим»). Следовательно, искомая вероятность равна 1/С^. '
(3) Сравнивая (I) и (2), находим Сп:
г _п (л— I). . . (я —г+ 1) _ я! _ fn\ п~ \-2. . . r ~ Л (п~г)\~\г }'
32. Выбор соперничающего статистического предположения. Пример. Один человек взял в определенный день 875 долларов со своего сберегательного счета, а другой, человек двумя днями позже получил 875 долларов. Совпадение этих двух сумм, одной взятой, а другой полученной, может рассматриваться как косвенная улика, как указание, что было совершено преступление; ср. пример,, 13. 6. Если присяжные найдут слишком трудным поверить, что это совпадение вызвано простой случайностью, то результатом может быть осуждение. Отсюда задача: какова вероятность такого совпадения? Чем меньше вероятность, тем труднее приписать совпадение случайности и тем сильнее улики против обвиняемых.
Однако'мы не можем вычислить вероятность, не принимая какой-либо определенной статистической гипотезы. Какую гипотезу следовало бы нам принять? В серьезном случае нам следует высказать по подобному вопросу серьезные соображения. Рассмотрим несколько возможностей.
(1) Поскольку число 875 состоит из трех цифр, мы можем рассматривать в качестве допустимых положительные целые числа, состоящие не более чем из трех цифр, и можем считать их равновозможными. Вероятность того, ч4о два таких числа, выбранных наугад независимо друг от друга, совпадут, очевидно. , равна 1/999. Эта вероятность довольно мала, но разумно ли допущение, ца котором основано ее вычисление?
.
Комментарий:
Автор Радомир:
Легче переносить терпеливо то, что нам не дано исправить.
Автор :
Автор :