V. РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ ИНДУКЦИИ
Когда вы убедитесь, что теорема верна, вы начинаете ее доказывать. — Традиционный профессор математики1)2)
1. Разложения. Сталкиваясь с разного рода задачами, мы нуждаемся в определенном типе индуктивных рассуждений. В различных областях математики встречаются некоторые задачи, требующие индуктивных рассуждений типичного характера. Настоящая глава несколькими примерами иллюстрирует этот тезис. Мы начинаем с относительно простого примера.
Разложить по степеням х функцию 1 /(1 — х + х%).
Эта задача может быть решена многими способами. Нижеследующее решение несколько громоздко, но оно основано на правильном принципе и может естественно прийти в голову умному начинающему, который знает немного, но все же по крайней мере знает сумму геометрической прогрессии:
1+Г + Г2+г8
В нашей задаче есть возможность воспользоваться этой формулой: 1 _ 1 _ 1— х+х* ~~ l-x(l-x) ~
= 1 + х(1 -х) + хЧ[ -х)2 + хя(1 -лг)3+ . . . == = 1+х-х2 +
+ х2-2х3+ х* +
+ х3-3х* + 3х5- л-6 +
+ х*-4х& + 6хв - 4лг7+ xs+
4- x5_5_v6 4_ jo*?- 10х8 + . . . + хв- 6х7+15х8-. . . + х7- 7х* + . .
.
+ Xs-. . .
— 1 -f-X —x3—xi 4- Xе + X7-
!) Речь идет о профессоре математики — традиционном персонаже анекдотов о математиках; см. «Как решать задачу», стр. 98. —Прим. перев.
2) Приведенному изречению этого хорошо известного педагога иногда предшествует следующее увещание: «Если вы должны доказать теорему, не торопитесь. Прежде всего полностью поймите, что теорема говорит, попытайтесь ясно увидеть, что она означает. Затем проконтролируйте теорему, она может оказаться неверной. Рассмотрите ее следствия, проверьте столько частных примеров, сколько нужно, чтобы убедить вас, что она верна. Когда . . . »
4. П. Пойа
.
Комментарий:
Автор :
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.
Автор :