решетка или герб. Естественно также подозревать, что эта монета является «честной», что герб и решетка выпадают приблизительно одинаково часто, что два вида целых чисел — четно и нечетно факторизумые — одинаково часты.
Так вот, можно доказать (доказательство трудное), что, если п велико, среди первых п целых чисел приблизительно столько же четно, сколько и нечетно факторизуемых (когда я стремится к оо, отношение стремится к 1). Это, по-видимому, подкрепляет наши подозрения. Теперь вы более уверенно ожидали бы, что четно и нечетно факторизуемые числа будут следовать одно за другим как случайная последовательность гербов и решеток. Так именно думая, я начал для каждого я записывать, какого рода числа, нечетно или четно факторизуемые, находятся в большинстве среди первых п чисел. Первые записи выглядели несимметрично, кривобоко. Я удивился и перешел к большим значениям я: они все еще были кривобокими. Я был поражен и перешел к еще большим значениям я, но они были все так же кривобоки. Я устал от вычислений, когда достиг я = 1500, и должен был признать, что наблюдения являются доводом в пользу предположения: «Среди первых я целых чисел при я 5г 2 четно факторизуемые числа никогда не находятся в большинстве».
Вы подбрасываете монету 1500 раз. Вы подсчитываете, сколько гербов вы получили в первых я испытаниях. Легко может случиться, что вы получите меньше решеток, чем гербов («меньше» понимайте в широком смысле, как «не больше»). Может Даже случиться, что, начав со второго шага, для я = 2, 3, 4, . . . , 1500 вы будете получать все время меньше решеток, чем гербов, но это не может так уж легко случиться. Невольно хочется сказать, что это слишком невероятно, чтобы быть всего лишь совпадением. Тем не менее невероятное действительно случилось и наблюдалось, когда мы играли в орлянку с факторизованными числами. Должна же быть какая-то причина. Я сделал то, что должен был сделать: я принял это предположение без доказательства (конечно, на пробу) и попытался вывести из него следствия. Мне настолько повезло, что я заметил два обстоятельства.
Во-первых, если бы новое предположение было справедливо, то из него необходимо следовала бы справедливость значительно более важного предположения, принадлежащего Риману (о £-функции). Во-вторых, если бы было справедливо немного больше, чем это новое предположение (если бы четно факторизуемые числа определенно были в меньшинстве для всех я, начиная с некоторого), то необходимо следовало бы другое предположение, принадлежащее Гауссу (о числе классов квадратичных форм). Оба обстоятельства, мне кажется, говорят в пользу нового предположения.
Это предположение давно уже не является новым, но его судьба все еще не решена. А. Ингам вывел из него следствия, которые, возможно, стремятся сделать его менее правдоподобным. С другой стороны, Д. Лемер путем вычислений убедился,- что оно верно для чисел до я = 600 000.
17. Совершенствование аналогии. «Из всех тел с данным объемом наименьшую поверхность имеет шар». Это — классическая изопериметрическая теорема в пространстве, замечательный физический аналог которой был открыт А. Пуанкаре и строго доказан Г. Сеге: «Из всех тел с данным объемом наименьшую электростатическую емкость имеет шар». Естественно думать, что должны существовать и другие аналогичные теоремы, и я разыскивал теорему такого рода. Силовое поле вокруг тела, заряженного электричеством, сходно с полем скоростей жидкости вокруг тела, движущегося с постоянной скоростью в несжимаемой идеальной жидкости. (Оба поля являются полями без источников и безвихревыми и, следовательно, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных. ) Емкость тела в электростатическом поле в общих чертах соответствует «присоединенной массе» тела в гидродинамическом поле. (Движущееся тело возмущает жидкость и добавляет к своей собственной кинетической энергии кинетическую энергию движущейся жидкости; «присоединенная масса» есть множитель этой добавочной кинетической энергии. ) И емкость и присоединенная масса связаны с энергией соответствующего поля. Однако имеется бросающееся в глаза различие: емкость зависит только
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :