Математика и правдоподобные рассуждения

О математике

Применении к такой строгой науке, как математика, имеют ли смысл индукция (конечно, неполная), аналогия, наблюдение, гипотеза, эксперимент, короче говоря, методы, которыми пользуется каждый естествоиспытатель?

Ответу на этот вопрос посвящена книга известного математика и замечательного педагога Д. Пойа.

Советскому читателю, интересующемуся математикой, автор хорошо известен по книге Г. Полна и Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, ч. I и II, второе издание которой вышло у нас в 1956 г. Уже в этой книге авторы ставили перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи. Впоследствии Пойа написал на ту же тему популярную книжку «Как это решить?» х), рассчитанную на учителей математики и учащихся. Настоящая книга, изданная в двух томах в Принстоне (США) в 1954 г. , представляет собою итог многолетней работы автора, научной и педагогической, над вопросами о путях математического творчества.

Исследование такого рода естественно отличается от обычных математических работ. Оно основано на наблюдении и обобщении, на попытках проникнуть в творческую лабораторию великих математиков, придумать и поставить подходящий эксперимент. Иными словами, методы исследования здесь, собственно, те же, что и вообще в' естествознании. И самое замечательное, что основной итог, к которому приходит Пойа и который он убедительно обосновывает, состоит как раз в том, что в своем математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает всякий естествоиспытатель. Больше

того, автор считает даже, что индуктивные, т. е. основанные на вышеперечисленных методах), рассуждения легче изучать в области математики, чем в какой-либо другой области.

В соответствии с такой установкой автора первая часть книги содержит большое число примеров разных степеней трудности (начиная от самых элементарных), обучающих пользованию индукцией и аналогией в математике. Многие из них заимствованы непосредственно из творчества великих математиков, особенно из трудов Леонарда Эйлера, 250-летие со дня рождения которого отмечалось в текущем году2). Обращение к трудам Эйлера звучит при этом особенно убедительно, поскольку Эйлер не только с непревзойденным до сих пор успехом пользовался индуктивными методами в математике, но и откровенно сообщал читателю пути, которыми шел в своем математическом творчестве.

Вторая часть книги содержит попытку сформулировать правила индуктивного («правдоподобного») рассуждения наподобие логических правил вывода.
К каждому из этих правил автор приходит, начиная с конкретных примеров, заимствованных из математики, физики, астрономии, из судебной практики и даже из медицины. Для теоретического обоснования этих правил Пойа привлекает теорию вероятностей, просто и популярно излагая в этой связи нужный ему материал из этой области. Если первая часть книги представляет особый интерес именно в связи с математикой, то вторая относится преимущественно к вопросам индуктивной логики и ее применений в любых областях науки и жизни. Книга написана так, что даже в тех случаях, когда автор предполагает знакомство с математикой, читатель, не обладающий специальными математическими знаниями, тем не менее легко может уследить за основной мыслью автора. Ее могут поэтому с успехом читать люди самых разнообразных специальностей. К тому же вторую часть можно читать совершенно независимо от первой. Но читатель, который начнет со второй части и затем обратится к первой, увидит, сколь интересный материал содержится именно в первой части.

Я позволю себе сделать здесь несколько замечаний по поводу методологических установок автора. Попыткам использовать теорию вероятностей для обоснования индуктивной логики, истолковав вероятность как степень правдоподобности (или вводя термин вероятность в различных смыслах: «вероятность-один» как степень правдоподобности и «вероятность-два» основанную на понятии частоты, см. R. Carnap, Logical Foundations of Probability, Chicago, 1950), посвящена в настоящее время большая литература. В книге Пойа мы не найдем строгого обоснования выдвигаемой им теории. Но ряд моментов в ней звучит весьма убедительно для читателя-материалиста. Автор озабочен прежде всего не субъективной, а объективной оценкой степени правдоподобности того или иного аргумента. Он подчеркивает, что, хотя к правдоподобностям применимы некоторые правила, заимствованные из теории вероятностей, правдоподобности нельзя все же рассматривать как числа. Достоверно истинное высказывание имеет, правда, максимальную правдоподобность (которую можно назвать «единицей», а достоверно ложное — минимальную «нуль»), но тем не менее могут существовать и несравнимые (по силе доводов) правдоподобности (в качестве таковых автор приводит, например, правдоподобности: а) теоремы Гольдбаха о сумме двух нечетных простых чисел и б) утверждение, что викинги высадились на американском, материке за несколько сот лет до Колумба). Правдоподобности1) образуют, таким образом, лишь частично упорядоченное множество, почему их и нельзя оценивать числами, множество которых линейно упорядочено2). (В соответствии с этим отличием правдоподобности от вероятности автор —к сожалению, весьма неопределенно — говорит о различии «качественной» и «количественной» теории вероятностей. ) Отметим, наконец, что статистические закономерности, основанные на обычном понятии вероятности (как «частоты дальнего действия»), Пойа отнюдь не противополагает — в качестве единственно приемлемых — причинным закономерностям (как это часто делается в философской идеалистической литературе), а, наоборот, учит употреблять статистические методы для обоснования причинных («физических») закономерностей — для исключения возможности случайного совпадения.

.

 

Комментарий:
Автор Серапион:
Иной сходит в могилу ста лет, а умер едва родившись.
Автор :
Автор Illarion:
он лайн порно Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.
Автор Paulina:
купить диплом недорого Способность к негодованию составляет важнейшую часть вооружения всякого честного человека.

Ваше имя:

Комментарий:

Информация