в. Рассмотрите усеченную правильную пирамиду с квадратными основаниями. Назовите «средним сечением» сечение усеченной пирамиды плоскостью, параллельной основаниям и находящейся от них на одинаковом расстоянии. Назовите «промежуточным прямоугольником» прямоугольник, одна сторона которого равна стороне нижнего, а другая — стороне верхнего основания.
Четыре различных ваших друга согласны, что объем этой усеченной пирамиды равен произведению высоты на некоторую площадь, но они расходятся в мнениях относительно этой площади и делают четыре различных предположения:
(I) Площадь среднего сечения. (II) Среднее арифметическое площадей нижнего и верхнего оснований.
(III) Среднее арифметическое площадей нижнего и верхнего оснований и среднего сечения.
(IV) Среднее арифметическое площадей нижнего и верхнего оснований и промежуточного прямоугольника.
Пусть h — высота усеченной пирамиды, а — сторона ее нижнего основания и Ъ — сторона ее верхнего основания. Выразите каждое из четырех предложенных правил в математических обозначениях, решите верно оно или нет и докажите ваш ответ.
7. Qui nimium probat, nihil probat. Иными словами, если вы доказываете слишком много, тб вы ничего не доказываете. Я не могу сказать, в каком смысле изобретатель этой классической поговорки намеревался ею пользоваться, но хочу объяснить то значение этого изречения, которое с тех пор, как я приступил к математической работе, я нахожу чрезвычайно полезным. Это изречение напоминает мне об одном из наиболее полезных признаков, с помощью которых мы можем судить об осуществимости плана решения.
Вот ситуация: вы хотите доказать какое-то предложение. Это предложение состоит из заключения и посылки, которая имеет несколько пунктов, и вы знаете, что каждый из этих пунктов необходим для заключения, т. е. что ни один из них не может быть отброшен без того, чтобы заключение вашего предложения не стало несправедливым. Вы задумали план доказательства и взвешиваете шансы вашего плана.
Если ваш план не вовлекает в игру все эти пункты, то вам следует видоизменить ваш план или же отвергнуть его: если бы он был осуществим, как он есть, и привел бы к доказательству заключения, хотя он и не учитывает тот или иной пункт посылки, то он доказал бы слишком много, т. е. нечто ложное, и таким образом он не доказал бы ничего.
Я сказал, что ваш план должен вовлекать в игру эти пункты. Я имею в виду, что одних лишь словоизлияний не достаточно, простое их упоминание в счет не идет: ваш план должен обеспечивать существенное использование каждого пункта посылки в доказательстве. Каркас, который должен поддерживать заключение, не может быть воздвигнут, если он не имеет крепкой опоры в каждом пункте посылки.
Может оказаться очень трудным придумать план, должным образом вовлекающий в игру все пункты посылки. Поэтому, если план обещает уловить все эти пункты, то мы приветствуем его с облегчением: это превосходный признак, сильное указание на то, что план можно осуществить.
По поводу соответствующих «задач на нахождение», все данные которых необходимы, см. § 8 (3), (4), (5).
Если вы предпочитаете латинской поговорке французское изречение, то вот оно: «La mariee est trop belle* — новобрачная слишком красива. Я не думаю, что мне нужно распространяться на эту тему; после предыдущего читатель может сам представить себе все подробности.
8. Близость и правдоподобность. Насколько далеко решение? Сколько остается доделать? Такие вопросы тяжелом грузом лежат на сознании учащегося, который должен окончить свою задачу за назначенное время, но они присутствуют в сознании каждого человека, решающего задачу.
. (1) Мы даже в состоянии до некоторой степени ответить на такие вопросы, конечно, нё точно, но я склонен верить, что в среднем довольно правильно.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Illarion:
Застенчивость - это только нервное явление. Все нервные люди застенчивы. Скромность тут совершенно ни при чем.
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.