от формы и размеров тела, а присоединенная масса зависит также и от направления движения тела. Чтобы сделать аналогию более совершенной, я должен был ввести новое понятие: осредняя присоединенную массу по всем возможным направлениям, мы получаем среднюю присоединенную массу. И, таким образом, возникло предположение: «Из всех тел с данным объемом наименьшую среднюю присоединенную массу имеет шар».
Эллипсоид является единственным телом, для которого присоединенная масса в явном виде вычислена во всех направлениях. В самом деле, оказалось, что из всех эллипсоидов с данным объемом наименьшую среднюю присоединенную массу имеет шар: предположение подтвердилось в важном частном случае. Я мог бы подкрепить предположение также и аналогией: мне удалось доказать аналогичное гидродинамическое минимальное свойство круга в случае двух измерений. Так подкрепленное предположение заслуживает быть публично высказанным, по крайней мере я так думаю.
Это предположение до настоящего времени не доказано и не опровергнуто, хотя Г. Сеге и М. Шиффер нашли интересные связанные с ним результаты, которые кажутся подкрепляющими его.
18. Новое предположение. Рассмотрим плоскость с прямоугольными координатами х и у, и в этой плоскости — область R, ограниченную замкнутой кривой С. Мы разыскиваем функцию и = и (х, у), удовлетворящую тому или иному из двух граничных условий:
(1) и= О,
« я-
вдоль кривой С, и дифференциальному уравнению в частных производных
. . . дЧ . д*и . .
{3) dx*+dJ*+VU = 0 внутри области R. В (2) п обозначает нормаль к кривой С; в (3) v обозначает некоторую константу. Итак, мы имеем две различные задачи: в первой мы должны решить дифференциальное уравнение (3) с краевым условием (1), во второй — с (2). Обе задачи важны в физике в связи с различными явлениями колебаний. Обе задачи имеют одно и то же тривиальное решение: и = 0 тождественно. Как та, так и другая задача имеют нетривиальные, т. е. не тождественно равные нулю, решения и только для специальных значений v: задача с граничным условием (1) для v = Х-!, Я,2, А3, . . . , задача с граничным условием (2) для v = |л2, р3. . . .
. При этом
О <С%! < Х2 s£ Х3 ££ Х4 SS. . . , 0 = n1<n2scu3s£(x4sc. . .
Эти исключительные значения Я1( Х-2, к3, . . . и рь р2, ц3, . . . называются собственными значениями соответственно первой и второй задач. Собственные значения связаны с частотами характеристических колебаний в соответствующих физических явлениях.
Я хочу сформулировать новое предположение: Пусть А обозначает площадь области R; тогда для п = 1, 2, 3, . . .
ц„ < 4ялЛ-1 < Хп.
Это — предположение, бросающее вызов. Поскольку форма области R может произвольно меняться и п пробегает все целые числа 1, 2, 3, . . . , это предположение покрывает необъятное разнообразие частных случаев, из которых известны не слишком многие: предположение могло бы быть опровергнуто числовым результатом, касающимся любого из этих частных случаев. Однако предположение не так уж плохо подкреплено.
(а) Предположение подтверждается для п = 1, 2, 3, . . . , когда R — прямоугольник. Это был в действительности тот частный случай, который натолкнул на мысль о предположении.
.
Комментарий:
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.
Автор :
Автор :