X. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Круг— первая, наиболее простая и наиболее совершенная фигура. — П р о к л ')
Lo cerchio е perfetissima figura. — Данте 2)
1. Индуктивные доводы Декарта. В неоконченной работе Декарта Regulae ad Dlrectionem Ingenii (или Правила для руководства ума, которая, кстати сказать, должна рассматриваться как одна из классических работ по логике открытия) мы находим следующее любопытное место3): «Чтобы показать посредством энуме-рации, что периметр круга меньше, чем периметр любой другой фигуры той же площади, нет необходимости исследовать все возможные фигуры, но достаточно доказать это на нескольких из них, чтобы путем индукции-вывести то же самое для всех других фигур».
Чтобы понять смысл этой выдержки, выполним действительно то, что предлагает Декарт. Сравним круг с несколькими другими фигурами: треугольниками, прямоугольниками и круговыми секторами. Возьмем два треугольника: равносторонний и равнобедренный прямоугольный (с углами соответственно 60°, 60°, 60° и 90°, 45°, 45°). Форма прямоугольника характеризуется отношением его ширины к его высоте; мы выберем отношения 1: 1 (квадрат), 2: 1, 3: 1 и 3:2. Форма сектора круга определяется углом в центре; мы выберем углы 180°, 90° и 60° (полукруг, квадрант и секстант). Допустим, что все эти фигуры имеют одинаковую площадь, скажем 1 см2. Затем вычислим длину периметра каждой фигуры в сантиметрах.
Полученные числа собраны в следующую таблицу (см. стр. 186); порядок фигур выбран так, чтобы периметры возрастали, когда мы читаем их сверху вниз.
Из десяти перечисленных фигур, имеющих одинаковую площадь, круг, указанный первым, имеет наименьший периметр. Можем ли мы отсюда посредством индукции вывести, как, по-видимому, предлагает Декарт, что круг имеет наименьший периметр не только среди десяти перечисленных фигур, но и среди всех возможных
Ч Комментарии к определениям XV и XVI первой книги Начал Евклида. 2) Convivio (Пир) II, XIII, 26.
3)Рене Декарт, Избранные произведения, М. , 1950, стр. 104. Место несущественно изменено; рассматриваемое свойство круга дано здесь в иной форме.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Тарас:
Нужно стать известным человеком, чтобы позволить себе выступать инкогнито.