24. Дана окружность в пространстве. Найдите поверхность с данной площадью, ограниченную данной окружностью и заключающую вместе с кругом, ограниченным данной окружностью, наибольший объем. [Знаете ли вы какую-нибудь аналогичную задачу?]
25. Задача Дидоны в пространственной геометрии. Дан трехгранный угол (одна из восьми бесконечных частей, на которые пространство разбивается тремя плоскостями, пересекающимися в одной точке). Найдите наибольший объем, отсекаемый от трехгранного угла поверхностью данной площади.
Эта задача слишком трудна. От вас требуется только выбрать более доступный частный случай.
26. Найдите задачу, аналогичную примеру 25, результат которой вы можете предвидеть. [Обобщите, перейдите к частному случаю, перейдите к пределу, . . . ]
27. Биссекторы плоской области. Рассмотрим плоскую область, ограниченную некоторой кривой. Дуга, соединяющая две точки граничной кривой, называется биссектором области, если она делит область на две части равной площади.
Покажите, что любые два биссектора одной и той же области имеют по крайней мере одну общую точку.
28. Сравните два биссектора квадрата. Один — прямолинейный отрезок, параллельный одной из сторон и проходящий через центр квадрата. Другой — четверть окружности с центром в вершине квадрата. Какой из них короче?
29. Найдите кратчайший прямолинейный биссектор равностороннего треугольника.
30. Найдите кратчайший биссектор равностороннего треугольника.
31. Покажите, что кратчайшими биссекторами круга являются его диаметры.
32. Найдите кратчайший биссектор эллипса.
33. Попытайтесь сформулировать общие теоремы, охватывающие примеры 28—32.
34. Биссекторы замкнутой поверхности х). Замкнутая кривая без самопересечений, лежащая на замкнутой поверхности, называется биссектором этой поверхности, если она делит поверхность на две части (открытые поверхности) равной площади.
Покажите, что любые два биссектора одной и той же поверхности имеют по крайней мере одну общую точку.
35. Кратчайший биссектор поверхности многогранника состоит из кусков, каждый из которых есть или прямолинейный отрезок, или дуга окружности.
36. Кратчайший биссектор поверхности правильного многогранника является правильным многоугольником. Найдите его форму и расположение и число решений для каждого из пяти правильных многогранников. (Можете экспериментировать с моделью многогранника и резиновой лентой. )
37. Покажите, что кратчайшими биссекторами сферы являются большие круги.
38. Попытайтесь найти обобщение примера 37, охватывающее и существенную часть примера 36. [Примеры 9. 23, 9. 24. ]
39. Дан шар S радиуса а. Назовем диафрагмой S ту часть сферической поверхности, пересекающей S, которая находится внутри S. Докажите:
(1) Все диафрагмы, проходящие через центр шара S, имеют одинаковую площадь.
(2) Никакая диафрагма, делящая объем шара S пополам, не имеет площади, меньшей чем яа2.
Последнее утверждение и рассмотренные аналогичные случаи подсказывают предположение. Сформулируйте его. [Примеры 31, 37. ]
*) Мы рассматриваем здесь только замкнутые поверхности «топологического типа» сферы и исключаем, например, (баранкообразный) тор.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Stalina:
Поговорите с человеком о нем, и он будет слушать вас часами.
Автор Antip:
Начало есть половина всего.