чая /, можем сформулировать этот результат в форме: ^. . . х*<(Х1+Х*+п- + Х*)П,
или
" /—;—;-•__л-! + Л"2 + . . . + хп
' У ■ ■ ■ хп ^->
если не все положительные величины хь х2, . . . , хп равны; если же эти величины равны, то неравенство становится равенством. Левая часть написанного выше неравенства называется средним геометрическим, а правая — средним арифметическим величин хь х2, ■ ■ ■, х„. Только что сформулированную теорему иногда называют «теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом», или, короче, «теоремой о средних».
Теорема о средних интересна и важна во многих отношениях. Стоит упомянуть, что она может быть высказана в двух различных формах:
Произведение п положительных величин с данной суммой становится максимальным, когда все эти величины равны.
Сумма п положительных величин с данным произведением становится минимальной, когда все эти величины равны.
В первой формулировке речь идет о максимуме, во второй —■ о соответствующем минимуме. Вывод предыдущего параграфа относится к первой формулировке. Систематически изменяя этот вывод, мы могли бы прийти ко второй формулировке. Проще, однако, заметить, что неравенство между средними одновременно дает обе формулировки: чтобы получить ту или другую, мы должны рассматривать как данную ту или другую часть неравенства. Мы можем называть эти две (по существу равносильные) формулировки сопряженными формулировками.
Теорема о средних позволяет решать многие геометрические задачи на максимум и минимум. Мы рассмотрим здесь только один пример (несколько других можно найти в конце этой главы).
Дана площадь поверхности ящика; найти максимум его объема.
Я пользуюсь словом «ящик» вместо слов «прямоугольный параллелепипед», потому что слово «ящик» достаточно выразительно и значительно короче, чем официальный термин.
Решение легко предвидеть, и раз уж мы его предвидим, оно легко сводится к теореме о средних. Пусть
а, Ъ, с —длины трех ребер ящика, выходящих из одной и той же вершины,
б1—площадь поверхности,
V— объем.
Очевидно,
S=2(ab + ас + be), V=abc.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.