4. Индуктивные доводы лорда Рэлея
187
«Круг — наиболее совершенная фигура» — это традиционная фраза. Мы находим ее в сочинениях Данте (1265—1321), Прокла (410—485) и еще более ранних авторов. Смысл сентенции не ясен, но за ней может скрываться нечто большее, чем простая традиция.
3. Физические доводы. «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар». Назовем это утверждение «изопериметрической теоремой в пространстве».
Изопериметрической теореме в пространстве, как и на плоскости, мы склонны верить без какого-либо математического доказательства. В пользу шара мы расположены, пожалуй, даже больше, чем в пользу круга. В самом деле, кажется, что сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны. Немножко зная физику поверхностного натяжения, мы можем научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря.
Однако, даже если мы не знаем серьезной физики, к изопериметрической теореме нас могут привести совсем примитивные рассмотрения. Мы можем научиться ей у кота. Я думаю вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность.
Он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой.
Физика, на которой основано это рассмотрение, крайне груба *). Однако это рассмотрение убедительно и даже ценно как своего рода предварительное подкрепление для изопериметрической теоремы. Неуловимые доводы в пользу шара или круга, на которые выше был сделан намек (§ 2), начинают сгущаться. Не являются ли они доводами физической аналогии?
4. Индуктивные доводы лорда Рэлея. Немногим более чем через двести лет после смерти Декарта физик лорд Рэлей исследовал тоны мембран. Пергамент, натянутый на барабан, есть «мембрана» (или, вернее, разумное приближение к математической идее мембраны), если только он сделан очень тщательно и так натянут, что является повсюду однородным. Барабаны обычно имеют круглую форму, но
х) Лучше осведомленный кот должен был бы делать минимальной не поверхность своего тела, а его теплопроводность или, что сводится к тому же, его электростатическую емкость. Однако в силу одной теоремы Пуанкаре эта Другая задача на минимум имеет то же решение, шар. См. Р 6 1 у a G. , Amer, Math. Moathly, 54 (1947), 201—206.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :