158
Гл. VIII. Максимумы и минимумы
пирамида: соответственно куб, тетраэдр и октаэдр. Каждый из этих трех многогранников является «прямым» многогранником своего типа.
Мы будем также рассматривать цилиндры, конусы и двойные конусы; если нет оговорки о противном, предполагается, что их основания —круги.
34. Прямая призма с квадратным основанием. Из всех прямых призм с квадратным основанием, имеющих данный объем, наименьшую поверхность имеет куб.
Докажите этот частный случай уже доказанной теоремы (§ 6, пример 15), пользуясь теоремой о средних.
Вы можете соблазниться поступить следующим образом. Пусть V, S, х и у соответственно обозначают объем, площадь поверхности, сторону основания и высоту призмы. Тогда
V = x2y, S = 2x2 + ixy.
Применяя теорему о средних, получаем
(S/2)2 = [(2x2 _р 4ху)/2Р S* 2хз • Аху = 8xsy.
Но правая часть не имеет к V = x2y никакого отношения; такое неравенство бесполезно — теорема о средних кажется неприменимой.
Это было, однако, опрометчивое, неразумное, непрофессиональное применение этой теоремы. Сделайте еще одну попытку. [В чем состоит желаемое заключение?]
35. Прямой цилиндр. Заметьте, что из всех призм, рассмотренных в примере 34, только куб можно описать около шара, и докажите: Из всех прямых цилиндров, имеющих данный объем, наименьшую поверхность имеет цилиндр, описанный около шара. [В чем состоит желаемое заключение?]
36. Произвольная прямая призма. Даны объем прямой призмы и форма (но не размеры) ее основания. Когда площадь поверхности минимальна, какую ее долю составляет площадь основания? [Знаете ли вы какую-нибудь задачу, связанную с этой?]
37. Прямая двойная пирамида с квадратным основанием. Докажите: Из всех прямых двойных пирамид с квадратным основанием, имеющих данный объем, наименьшую поверхность имеет правильный октаэдр.
38. Прямой двойной конус. Заметьте, что вписанный шар касается каждой грани правильного октаэдра в ее центре, который делит высоту грани в отношении 1 : 2, и докажите: Из всех прямых двойных конусов, имеющих данный объем, минимум поверхности достигается двойным конусом, образующие которого делятся точками касания со вписанным шаром в отношении 1:2.
39. Произвольная прямая двойная пирамида. Даны объем прямой двойной пирамиды и форма (но не размеры) ее основания. Когда площадь поверхности минимальна, какую ее долю составляет площадь основания?
40. Дана площадь треугольника. Найдите минимум его периметра. [Могли ли бы вы предсказать результат? Если вы хотите попытаться применить теорему о средних, то вам может понадобиться выражение площади через стороны. ]
41. Дана площадь четырехугольника. Найдите минимум его периметра. [Могли ли бы вы предсказать результат? Обозначьте буквами а, Ь, с и d стороны четырехугольника, буквой е сумму двух противоположных углов и выразите площадь А через а, Ь, с, d и е. Это обобщение задачи, решение которой даегся формулой Герона. ]
42. Прямая и наклонная призмы имеют одинаковый объем и одно и то же основание. Тогда прямая призма имеет меньшую поверхность.
Прямая и наклонная пирамиды имеют одинаковый объем и одно и то же основание. Тогда прямая пирамида имеет меньшую поверхность.
Прямая и наклонная двойные пирамиды имеют одинаковый объем и одно и то же основание. Тогда прямая двойная пирамида имеет меньшую поверхность. __. _
.
Комментарий:
Автор Елисей:
Во всякой стране молодое поколение - всегда иностранцы.
Автор Markell:
Когда миф превращается в действительность, чья это победа - материалистов или идеалистов?
Автор :