Для правдоподобного ответа обратимся к простейшему аналогичному случаю. Рассмотрим две симметрические функции f(xlt х. 2, хп) и g(xt, х2, хп) от п переменных и будем разыскивать экстремум функции f(xu хг, хп), когда задано, что g(xt, х2, хп) = 1. Существуют случаи, когда нет максимума, другие случаи, когда нет минимума, и третьи случаи, когда нет ни максимума, ни минимума. Условие хх = х. г = . . . = хп играет важную роль *), но, когда достигается максимум или минимум, оно не обязано удовлетворяться. Имеет место, однако, простой факт. Если
хх —flj, х% — а2, х3 — а3, •■•> хп — ап есть решение, то в силу симметрии функций / и g также и
хх = а2, x2 = air х3~а3. . . . . хп = ап
является решением. Следовательно, если ах ф а2, то существуют по крайней мере два различных решения. Если существует единственное решение (т. е. экстремум достигается и достигается ровно для одной системы значений Xj, х2, хп), то это решение требует, чтобы хЛ = х2 = . . . = хп.
«Comparaison n'est pas raison» 2) говорят французы. Конечно, такое сравнение, как только что сделанное, не может дать непреложного доказательства, а дает только эвристическое указание. Но мы иногда очень рады получить и такое указание.
Возьмите в качестве иллюстрации
/(*!, Х2, xj = (*l + x2 + . . . +x„)2,
g(xv х2, xn) = (xl + x* + .
. . +xl)/n
и найдите экстремум / при условии g= 1, рассмотрев (1) все действительные значения xlt х2, х„ и (2) только неотрицательные действительные значения этих переменных.
42. Правильные многогранники. Найдите многогранник с данным числом я граней и с данной площадью поверхности, имеющий наибольший объем.
Эта очень трудная задача подсказывается аналогичной задачей § 7(1), которая подсказывает и предположение: если существует правильный многогранник с я гранями, то он дает наибольший объем. Однако, каким бы правдоподобным ни казалось это предположение, в двух случаях из пяти оно оказывается ошибочным. В действительности это предположение
верно для я = 4, 6, 12, неверно для я = 8, 20.
В чем различие? Попытайтесь подметить какое-нибудь простое геометрическое свойство, отличающее эти два вида правильных многогранников.
43. Индуктивные доводы. Пусть V обозначает объем тела, a S — площадь его поверхности. Сказанное в § 8(3) по аналогии наводит на мысль рассматривать по определению
36 л, К2 S3
как изопериметрическое частное в пространственной геометрии. По аналогии мы можем предположить, что наибольшее изопериметрическое частное имеет шар. Таблица III индуктивно подкрепляет это предположение.
J) X а р д и Г. Г. , Л и ттл в уд Дж. Е. и Полна Г. , Неравенства, М. , 1948, стр. 133—135 и цитированные там теоремы.
2) Сравнение не доказательство (франц. ). — Прим. перев.
.
Комментарий:
Автор :
Автор Эразм:
В литературе всякий ценен не сам по себе, а лишь в своем взаимоотношении с целым.
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.