«Из всех ящиков с данной площадью поверхности наибольший объем имеет куб».
«Из всех ящиков с данным объемом наименьшую площадь поверхности имеет куб».
8. Более сильная форма изопериметрической теоремы. Сравните утверждения I, II и III § 8 со следующими.
Г. Площадь круга больше, чем площадь любой другой плоской фигуры с тем же периметром.
II'. Периметр круга меньше, чем периметр любой другой плоской фигуры с той же площадью.
ИГ. Если А — площадь плоской фигуры, a L — ее периметр, то
и равенство достигается в том и только в том случае, если эта фигура —круг. Покажите, что Г, II' и III' между собой равносильны. Доказали ли мы Г?
9. Дана фигура С с периметром L и площадью Л; С не является кругом. Постройте фигуру С с тем же периметром L, но с площадью А', большей чем А.
Эта задача важна (почему?), но не слишком легка. Если вы не можете решить ее в полной общности, то решите ее в существенных частных случаях; поставьте уместные вопросы, которые могут подвести вас ближе к ее общему решению; попытайтесь заново ее сформулировать; попытайтесь подойти к ней с той или иной стороны.
10. Даны четырехугольник С с входящим углом, его периметр L и площадь А. Постройте треугольник С с тем же периметром L, но с площадью А', большей чем А.
11. Обобщите пример 10.
12. Информация «С не есть круг» является «чисто отрицательной». Могли бы вы охарактеризовать С более «положительно» каким-нибудь способом, который дал бы вам точку опоры для того, чтобы взяться за решение примера 9?
[Любые три точки произвольной кривой лежат на одной окружности или на одной прямой.
Что можно сказать о четырех точках?]
13. Дана фигура С с периметром L и площадью А; на кривой, ограничивающей фигуру С, существуют четыре точки Р, Q, R и S, не лежащие ни на одной окружности, ни на одной прямой. Постройте фигуру С с тем же периметром L, но с площадью А', большей чем А. [Пример 2. ]
14. Сравните следующие два вопроса.
Рассмотрим фигуры с данным периметром. Если С — такая фигура, но не круг, то мы можем построить другую фигуру С с большей площадью. (Действительно, это сделано в примерах 10 — 13. Условие, что С не круг, существенно; наше построение не увеличивает площади круга. ) Можем ли мы отсюда заключить, что круг имеет наибольшую площадь?
Рассмотрим положительные целые числа. Если п — такое число, но не 1, то мы можем построить другое целое число я', большее чем п. (Действительно, положим я' = я2. Условие я > 1 существенно; наше построение не годится для я = 1, так как I2 = 1. ) Можем ли мы отсюда заключить, что 1 — наибольшее целое число?
Укажите отличие, если оно существует.
15. Докажите утверждение Г примера 8.
Вторая часть]
16. Палка и веревка. Даны палка и веревка; каждый конец веревки (которая, конечно, должна быть длиннее палки) привязан к соответствующему концу палки. Окружите этим устройством наибольшую возможную площадь.
Положите палку. Ее концы А и В полностью определяют ее положение. Однако веревка может принимать бесконечно много форм, образуя произволь-
.
Комментарий:
Автор :
Автор Farhad:
Не думай, как бы ни был ты велик, Что ты всего достиг и все постиг.
Автор :