4. Обобщите пример 3.
5. Критически пересмотрите решение примера 1. Ко всем ли случаям оно применимо?
6. Критически пересмотрите решение примера 3. Ко всем ли случаям оно применимо?
7. Дайте строгое решение примера 3 для остроугольного треугольника. [•Частное изменение, пример 1, пример 5. ] •
8. Критически пересмотрите решения § 1 (4) и § 2 (2) задачи о транспортном центре. Ко всем ли случаям они применимы?
9. Транспортный центр четырех точек в пространстве. Дан тетраэдр с вершинами в точках Л, В, С и D. Предположим, что существует такая точка X внутри тетраэдра, для которой сумма ее расстояний от четырех вершин
АХ + ВХ + СХ+ DX
является минимальной. Покажите, что углы L АХВ и Z. CXD равны и делятся пополам одной и той же прямой; укажите другие пары подобным же образом связанных углов. [Знаете ли вы задачу, родственную этой? Аналогичную задачу? Могли ли бы вы воспользоваться ее результатом или методом ее решения?]
10. Транспортный центр четырех точек на плоскости. Рассмотрите крайний случай примера 9, когда точки Л, В, С и D лежат в одной плоскости, являются вершинами выпуклого четырехугольника ABCD. Остается ли утверждение примера 9 справедливым в этом крайнем случае?
11. Транспортная сеть для четырех точек. Пусть А, В, С и D —четыре фиксированных точки, а X и Y — переменные точки на плоскости. Если минимум суммы пяти расстояний АХ + ВХ + XV + YC + YD достигается так, что все шесть точек А, В, С, D, Хм Y различны, то три прямые ХА, ХВ и XY одинаково наклонены одна к другой, и это же верно для трех прямых YC, YD и YX.
12. Разверните и выпрямите. Существует еще другая полезная интерпретация рис. 9. 3. Начертите /, А*Х и ХВ на листе прозрачной бумаги, затем согните
лист по прямой /: вы получите рис. 9.
1 (с А* вместо А). Представьте себе, что рис. 9. 1 первоначально начерчен этим искусственным способом на согнутом прозрачном листе. Чтобы найти положение точки X, обращающее ЛХ+ ХВ в минимум, разверните лист, начертите прямую от Л (или, вернее, А* на рис. 9. 3) к В, и затем снова согните лист.
13. Бильярд. На прямоугольном бильярдном столе в точке Р находится шар. Требуется ударить шар в таком направлении, чтобы после четырех последовательных отражений от четырех сторон прямоугольника шар возвратился в свое первоначальное положение Р. [Рис. 9. 14. ]
14. Геофизическое исследование. В точке Е горизонтальной поверхности земли происходит взрыв. Звук этого взрыва распространяется внутрь земли и отражается наклонной плоскостью пласта OR, составляющею угол а с поверхностью земли. Звук, приходящий из Е, может достичь контрольного поста L в другой точке земной поверхности п различными путями. (Один из этих п путей построен на рис. 9. 15 методом примера 12. ) Предполагая, что п (отмеченное соответствующим прибором) дано, укажите пределы, между которыми заключен угол а.
Рис. стол.
9. 14. Отраженный бильярдный
.
Комментарий:
Автор :
Автор Ruslan:
Книга жизнеспособна лишь в том случае, если дух ее устремлен в будущее.
Автор :