Действительно, рассмотрим задачу как почти решенную. Представим себе, что мы уже получили искомые значения всех углов, за исключением одного. На рис. 10. 9 мы считаем угол в F переменным, но все другие углы, в В, С, К—фиксированными; суставы В, С, К жесткие, и только F гибкий. Соединим А и L с F. Длины AF и LF постоянны. Весь многоугольник АБС . . . F . . . KLA разлагается теперь на три части, две из которых жесткие (из картона) и только третья может изменяться. Многоугольники ABC . . . FA и LK . . ■ FL жесткие. Треугольник AFL имеет две данных стороны, FA и FL, и переменный угол в F. Площадь этого треугольника и с ней площадь всего многоугольника ABC . . . F . . . KLA становится максимальной, когда /_AFL является прямым углом, как мы только что сказали в (1), рассматривая на рис. 10. 7.
Это рассуждение, очевидно, в такой же степени применимо и к другим суставам, т. е. к углам в В, С, . . . и К (рис. 10. 8), и, таким образом, мы видим:. площадь
многоугольника ABC . . . KLA не мо- ^-7<Г---
жепг быть максимальной, если перво- q/^Ls \ ^^ч\/( начально не заданная сторона AL ( / Л
не стягивает в каждой из вершин, в( / ^ ^ \
не принадлежащих к ней, в В, С, . .
. -^v------------------->Л_„
. . . ,F,. . . ,K, прямой угол. Если наиболь- "
шая площадь существует, то она дол- р и с. 10. 9. Только один сустав жна достигаться в только что описан- гибкий, ной ситуации. То, что наибольшая площадь существует, мы можем считать не требуй щим доказательства и, немножко вспоминая элементарную геометрию, следующим образом можем описать эту ситуацию в других выражениях: максимум площади достигается в том и только в том случае, если многоугольник вписан в полукруг, диаметром которого является первоначально не заданная сторона.
Мы получили в точности тот же результат, что и в § 5 (3), но здесь мы не пользовались изопериметрической теоремой, а там пользовались.
(3) Сначала, в (1), мы подтвердили очень специальное следствие изопериметрической теоремы, затем, в (2), значительно более широкое следствие. Мы развили теперь, пожалуй, достаточную скорость, чтобы взяться за другое широкое следствие, выведенное выше, в § 5(2).
Сравним два многоугольника ABC . . . KL и А'В'С . . . K'L см. рис. 10. 10. Соответствующие стороны равны, АВ = А'В', ВС — = В'С', KL = K'L', LA = L'A', но некоторые углы различны; ABC . . . KL вписан в круг, а А'В'С . . . K'L' нет.
Соединим вершину J многоугольника ABC . . . KL с центром описанной окружности и проведем диаметр JM. Если случайно точка М Совпадет с вершиной многоугольника ABC . . . KL, наша задача
7 Д. Пойа_
.
Комментарий:
Автор Владлена:
Человек по природе добр.
Автор :
Автор Levan:
Я не создан для этого мира, где стоит только выйти из дому, как попадаешь в сплошное дерьмо.