9. Приложения и вопросы. Если Дидона заключила с туземцами сделку в окрестности мыса, то ее задача была, пожалуй, больше похожа не на рассмотренную в § 5(1), а на следующую:
Дан угол (бесконечная часть плоскости между двумя лучами, проведенными из одной и той же начальной точки). Найти наибольшую площадь, отсекаемую от него линией данной длины.
На рис. 10. 11 вершина данного угла обозначена буквой М (мыс). Предполагается, что произвольная линия, соединяющая точки X и Y, имеет данную длину /. Требуется сделать максимальной треугольную площадь между этой кривой и берегом моря. Мы можем передвигать концы X и Y кривой и видоизменять ее форму, но не можем изменять ее длину /.
Задача не слишком легка, но является одной из тех задач, которые частный выбор данных делает более доступными. Если угол в М прямой, то мы можем взять зеркальное отражение фигуры сначала относительно одной стороны угла, а затем относительно другой. Мы получим таким образом новую фигуру, рис. 10. 12, и новую задачу. Линия XY, учетверенная отражениями, дает новую замкнутую линию данной длины 41. Площадь, максимум которой нужно найти, учетверенная отображениями, дает новую площадь, целиком окруженную новой данной кривой, и нужно найти максимум этой новой площади. В силу изопериметрической теоремы решением новой задачи служит круг.
Этот круг имеет две данные оси симметрии, XX' и YY', и, таким образом, его центр находится в точке пересечения этих двух осей, в точке М. Следовательно, решением первоначальной задачи (задачи Дидоны) является квадрант: четверть круга с центром в вершине данного угла.
Мы, естественно; вспоминаем здесь решение задачи из § 5(1), основанное на рис. 10. 2, и замечаем, что оно совершенно аналогично настоящему решению. Легко видеть, что существует бесконечное множество дальнейших частных случаев, в которых годится этого рода решение. Если данный угол в М равен 360°/2я = 180°/л, то
М
Рис. 10. 11. Задача Дидоны, усложненная мысом.
Y
Рис. 10. 12. Иногда ее решают
отражения.
.
Комментарий:
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.
Автор :
Автор :