тические зеркала на практике применяются очень редко, но существует предельный случай, очень важный в астрономии. Что происходит, если один из фокусов эллипсоида фиксирован, а другой стремится к бесконечности?
31. Решите дифференциальное уравнение брахистохроны, найденное в § 4.
32. Вариационное исчисление занимается задачами на максимум и минимум величин, зависящих от формы и размера переменной кривой. Такова задача о брахистохроне, решенная в § 4 с помощью оптической интерпретации. Задача о геодезических, или кратчайших линиях на кривой поверхности, рассмотренная в примере 24, также принадлежит к вариационному исчислению; к нему же принадлежит и «изопериметрическая задача», о которой будет идти речь в следующей главе. Физические рассмотрения, которые, как мы видели, могут решать различные задачи на максимум и минимум, могут решать и некоторые задачи вариационного исчисления. Наметим пример.
Найти кривую данной длины и с данными концами, имеющую центр тяжести наименьшей высоты. Предполагается, что плотность постоянна вдоль кривой, которую мы рассматриваем как однородную веревку или цепь. Когда центр тяжести цепи достигает своего наиболее низкого положения, цепь находится в равновесии. Теперь мы можем исследовать равновесие цепи, рассматривая действующие на нее силы, ее вес и ее натяжение. Это исследование приводит к дифференциальному уравнению, которое определяет искомую кривую, цепную линию. Мы не входим в детали. Мы хотим только отметить, что намеченное решение имеет ту же основную идею, что и механические решения, рассмотренные в § 2.
33. От равновесия поперечных сечений к равновесию тел.
Архимед не сформулировал в явной форме общий принцип своего метода, но он применил его к нескольким примерам, вычисляя объемы, площади и центры тяжести, и разнообразие этих примеров делает этот принцип совершенно ясным. Применим вариант метода Архимеда, изложенный в § 5, к некоторым из его примеров.
Докажите Предложение 7 «Метода»:
Объем шарового сегмента относится к объему конуса с тем же основанием и высотой как сумма радиуса шара и высоты дополнительного сегмента к высоте дополнительного сегмента.
34. Докажите Предложение 6 «Метода»:
Центр тяжести полушария лежит на его оси и делит эту ось так, что часть, примыкающая к вершине полушария, относится к остальной части как 5 : 3.
35. Докажите Предлржение 9 «Метода»:
Центр тяжести шарбвого сегмента лежит на его оси и делит эту ось так, что часть, примыкающая к вершине, относится к остальной части как сумма оси сегмента и четырехкратной оси дополнительного сегмента к сумме оси сегмента и удвоенной оси дополнительного сегмента.
36. Докажите Предложение 4 «Метода»:
Объем сегмента параболоида вращения, отсеченного плоскостью, перпендикулярной оси, относится к объему конуса, имеющего то же основание и ту же высоту, что и сегмент, как 3:2.
37. Докажите Предложение 5 «Метода»:
Центр тяжести сегмента параболоида вращения, отсеченного плоскостью, перпендикулярной оси, лежит на оси и делит ее так, что часть, примыкающая к вершине, вдвое больше остальной части.
38. Ретроспективный взгляд на Метод Архимеда. Что было в уме Архимеда, когда он открыл свой метод, мы никогда не узнаем и можем только смутно об этом догадываться. Однако мы можем составить ясный и довольно короткий перечень таких математических правил (хорошо известных сегодня, но не сформулированных во времена Архимеда), которые нужны нам для решения современными методами задач, решенных Архимедом его методом. Нам нужны:
(1) Два общих правила интегрального исчисления:
j cf (х) dx = с j / (х) dx, j [f (x) +g (x)\ dx = j f (x) dx-\- j g (x) dx; с — постоянная, [(x) и g(x) — функции.
.
Комментарий:
Автор Варя:
Она всегда умела привести цитату, а это хорошая замена собственному остроумию.
Автор Варя:
Она всегда умела привести цитату, а это хорошая замена собственному остроумию.
Автор Серапион:
Иной сходит в могилу ста лет, а умер едва родившись.