Вы можете пользоваться рис. 8. 1 и 8. 3, но должны ясно понять, что теперь вы можете смотреть на отрезок АВ с обеих сторон.
14. Рассмотрите рис. 8. 1, 8. 2, 8. 3, возьмите Z. АХВ как в примере 13 и найдите его минимум на /. Соответствует ли результат принципу примера 11?
15. Дан объем ящика (прямоугольного параллелепипеда). Пользуясь частным изменением, найдите минимум площади его поверхности.
16. Какой из всех треугольников с данным периметром имеет наибольшую площадь? [Пример 8. ]
17. Какой из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, имеет наибольший объем? [Знаете ли вы какую-нибудь задачу, родственную этой?]
18. Даны длины а, Ь и с трех ребер тетраэдра, проведенных из одной и той же вершины. Найдите максимум объема тетраэдра. [Знаете ли вы какую-нибудь аналогичную задачу?]
19. Найдите кратчайшее расстояние между сферой и цилиндром. (Под цилиндром понимается бесконечный цилиндр вращения. )
20. Найдите кратчайшее расстояние между двумя цилиндрами со скрещивающимися осями.
21. Исследуйте утверждение: «Кратчайшее расстояние между двумя данными поверхностями есть длина общего перпендикуляра к обеим поверхностям»
22. Принцип частного изменения. Функция f(X, У, Z, . . . ) нескольких переменных X, У, Z, . . . достигает своего максимума при Х — А, У = В, Z = C, . .
. Тогда функция f(X, В, С, . . . ) одной переменной X достигает своего максимума при Х = А, и функция f(X, Y, С, . . . ) двух переменных X и У достигает своего максимума при Х — А, У = В и т. д.
Функция нескольких переменных не может достигать максимума по отношению ко всем ее переменным в совокупности, если она не достигает максимума по отношению к любому подмножеству переменных.
23. Существование экстремума. И принцип линии уровня и принцип частного изменения обычно дают только «отрицательную информацию». Они прямо показывают, в каких точках рассматриваемая функция / не может достигать максимума, а мы должны отсюда заключить, где / может достигнуть максимума. То, что f где-нибудь должна достигать максимума, не может быть выведено из одних лишь этих принципов. Однако существование максимума иногда может быть выведено с помощью какого-нибудь видоизменения рассуждения. Кроме того, существование максимума часто может быть выведено из общих теорем о непрерывных функциях нескольких переменных *). Как бы то ни было, всякий раз, когда с интуитивной точки зрения существование максимума кажется очевидным, мы имеем достаточные основания надеяться, что для доказательства существования подойдет какой-нибудь специальный прием или какая-нибудь общая теорема.
24. Видоизменение схемы частного изменения: бесконечный процесс. Найдите максимум произведения хуг, если дано, что х-\-у-\-г = 1.
Подразумевается, что х, у и г — положительные числа и что I задано. Эта задача является частным случаем задачи из § 5. Следуя методу, которым мы там воспользовались, зафиксируем одно из трех чисел х, у и г, а два других изменим так, чтобы они стали равными; при этом их произведение увеличится. Начнем с любой данной системы (х, у, г); производя указанное изменение, переходим к другой системе (хи уъ гг); затем переходим к новой системе (хъ уъ г2), а от нее к (х3, у3, г3) и т. д. Мы будем поочередно оставлять неизменным одно из наших трех чисел: сначала х, затем у, затем г, затем снова х, затем у, затем г, затем снова х и т. д. Итак, мы
!) Функция нескольких переменных, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, достигает своей верхней и нижней грани. Это обобщает теорему 2 в книге Харди Г. X. , Курс чистой математики, стр. 192.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Никандр:
...голый результат есть труп, оставивший позади себя тенденцию.