конечно, нам больше всего нравится треугольник, потому что мы о нем больше всего знаем. Но задача рис. 10. 3 и 10. 4 для треугольников теряет смысл, или, мы можем сказать, в случае треугольника она бессодержательна: треугольник с заданными сторонами является определенным, жестким. Для треугольника нет никакого перехода, подобного переходу от рис. Ю. З к рис. 10. 4. Однако переход от рис. 10. 5 к рис. 10. 6 для треугольников вполне возможен. Это, пожалуй, самое простое следствие, выведенное нами до сих пор из изопериметрической теоремы; исследуем его.
Простейший частный случай результата, выведенного в § 5 (3), решает следующую задачу: Даны две стороны треугольника; найти максимум его площади; см. рис. 10. 7. Ответ получен в § 5(3): площадь наибольшая, когда треугольник вписан в полукруг, диаметром которого служит первоначально не заданная сторона. Это, однако, означает, что площадь наибольшая, когда две данные стороны заключают прямой угол, что очевидно (пример 8. 7).
Рис. 10. 7. Палец с од- Р и с. 10. 8. Сверхпалец,
ним суставом.
Нам удалось подтвердить первое следствие изопериметрической теоремы. Такая удача, естественно, поднимает наше настроение. Что кроется за только что подтвержденным фактом? Не могли бы мы подтвердить какое-нибудь другое следствие?
(2) Обобщая задачу, рассмотренную в (1), приходим к следующей задаче: Даны величины всех последовательных сторон многоугольника, за исключением одной. Найти максимум площади.
Введем подходящие обозначения и начертим рис.
10. 8. Длины сторон АВ, ВС, KL заданы; длина стороны LA не задана. Мы можем представлять себе ломаную линию ABC . . . F . . . KL как своего рода «сверхпалеи»: «кости» АВ, ВС, . . . , KL имеют постоянную длину, углы в суставах В, С, . . . , F, . . . , К переменны. Требуется сделать площадь ABC . . . KLA максимальной.
Как и в некоторых задачах, рассмотренных нами ранее (§§ 8. 4 и 8. 5), характерная трудность, по-видимому, состоит в том, что переменных много (углы в В, С, F, . . . и К). Однако только что, в (1), мы рассмотрели крайний частный случай задачи, когда имеется всего лишь один переменный угол (один лишь сустав; рис. 10. 7). Естественно надеяться, что мы сможем воспользоваться этим частным случаем как точкой опоры для решения общей задачи.
.
Комментарий:
Автор Измаил:
Магнитная стрелка, непреодолимо влекомая к северу, подобна мужу, который блюдёт законы.
Автор :
Автор Markell:
Когда миф превращается в действительность, чья это победа - материалистов или идеалистов?