за исключением одного, и изучали эффект от изменения этого единственного элемента. Одновременное изменение всех переменных элементов, или полное изменение, не так легко обозреть. Нам удалось решить наши задачи, изучая частное изменение, когда изменяется только один элемент, а другие фиксированы. Вот принцип, лежащий в основе нашего образа действий: функция f нескольких переменных не может достигать максимума по отношению к совокупности всех своих переменных, если она не достигает максимума по отношению к каждой переменной в отдельности.
Это утверждение является весьма общим, хотя в одном отношении и излишне ограничительным: оно слишком тесно примыкает к предыдущим примерам, в которых в каждый данный момент времени мы изменяли лишь один элемент. Однако можно, себе представить, что в других примерах может оказаться выгодным изменять одновременно ровно два элемента и фиксировать другие или, допустим, ровно три и т. д. В таких случаях еще естественно было бы говорить о «частном изменении». Общая идея выступает теперь довольно ясно, и после еще одного примера читатель самостоятельно сумеет довести ее до полной ясности.
Отрезок длины I делится на п частей. Найти максимум произведения длин этих п частей.
Пусть хь х2, хп — длины этих п частей; хь х2, хп — положительные числа с данной суммой:
Требуется сделать максимальным произведение х1х2. .
. хп.
Исследуем сначала простейший частный случай: дана сумма х14гх2 двух положительных величин; найти максимум их произведения ххх2. Мы можем интерпретировать хг и х2 как соседние стороны прямоугольника и высказать задачу в следующей более привлекательной форме: дан периметр L прямоугольника; найти максимум его площади. В самом деле, сумма двух только что упомянутых сторон задана:
Сразу возникает догадка: площадь становится максимальной, когда прямоугольник превращается в квадрат. Эту догадку легко проверить. Каждая сторона квадрата с периметром L равна
Мы должны убедиться в том, что площадь квадрата больше, чем площадь прямоугольника, или, что то же самое, что их разность
ххАгх2-\-. . . + ха — 1.
Х\Л- хг — ~2~
4
*1 + *2
2
.
Комментарий:
Автор Майда:
Боже, не дай мне только написать книгу о книгах!
Автор :
Автор Levan:
Я не создан для этого мира, где стоит только выйти из дому, как попадаешь в сплошное дерьмо.