значительно упростится [мы могли бы в этом случае немедленно воспользоваться результатом, полученным в (2)]. Если нет, то М лежит на окружности между двумя соседними вершинами вписанного многоугольника, скажем, А и В. Проведем МА, MB, рассмотрим Д АМВ (заштрихованный на рис. 10. 10) и построим Д А'М'В' на основании А'В' (также заштрихованный), равный /\АМВ. Наконец, проведем J'M'.
Многоугольник АМВС . . . KL делится прямой JM на две части (см. рис. 10. 10); многоугольник А'М'В'С . . . K'L' соответствующим образом делится прямой J'M'. Применим к обеим частям теорему, доказанную в (2). Плсщадь многоугольника МВС . . . 7, вписанного
Рис. 10. 10. Один многоугольник вписан, другой нет.
в полукруг, не меньше, чем площадь многоугольника М'В'С . . .
J'\ действительно, все соответствующие стороны, за исключением MJ и M'J', равны, и лишь сторона MJ, образующая диаметр полукруга, может отличаться от M'J'. По той же причине площадь многоугольника MALK. . . J не меньше, чем площадь M'A'L'K' . . . J'. Складывая, получаем, что
площадь АМВС . . . KL> площади А'М'В'С . . . K'L'.
Однако
Д ЛЛШ==Д А'М'В'.
Вычитая, получаем, что
площадь ABC . . . KL> площади А'В'С . . . K'L'.
Площадь многоугольника, вписанного в круг, больше, чем площадь любого другого многоугольника с такими же сторонами.
Мы получили здесь в точности тот же результат, что и в § 5 (2), но здесь мы не пользовались изопериметрической теоремой, а там пользовались.
(Первое неравенство между площадями сложенных многоугольников содержит знак >>, хотя добросовестный читатель мог ожидать знак Рассмотрим этот несколько более тонкий пункт. Я утверждаю,
.
Комментарий:
Автор Римма:
Бди...
Автор :
Автор :