в одной плоскости, или она может быть «пространственной кривой» («скрученной» кривой), точки которой не содержатся в одной плоскости. Как бы то ни было, геодезическая линия должна иметь какую-то внутреннюю геометрическую связь с поверхностью, на которой она является кратчайшей линией. Какова эта связь?
(1) Рассмотрим ломаную ABC. . . L. Даже если ABC. . . L — пространственная ломаная, два соседних ее отрезка, например HI и IJ, лежат в одной плоскости. Если ABC. . . L — кратчайшая линия на многогранной поверхности между своими концами А и L, то каждая из промежуточных вершин В, С, D, Н, I, /, . . . , К лежит на ребре многогранника. Плоскость, содержащая отрезки HI и //, содержит и биссектрису /. HI J, и эта биссектриса перпендикулярна ребру многогранника, проходящему через /; см. пример 16 или пример 18.
Рассмотрим кривую. Даже если эта кривая скрученная, ее бесконечно малая (очень короткая) дуга может рассматриваться как плоская (почти плоская) дуга. Плоскость бесконечно малой дуги есть соприкасающаяся плоскость в ее середине. Эта соприкасающаяся плоскость аналогична плоскости, в которой лежат два соседних отрезка пространственной ломаной. Если кривая является геодезической линией, т. е. кратчайшей линией на поверхности, то аналогия подсказывает, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии в произвольной точке проходит через нормаль к поверхности ввтой точке.
(2) Геодезическая линия физически может быть интерпретирована как резиновая лента, натянутая на гладкую поверхность (т. е. поверхность, по которой всякое тело скользит без трения). Исследуем равновесие маленького участка этой резиновой ленты. Силы, действующие на этот участок — два натяжения равной величины, действующие по касательным в двух концах нашей маленькой дуги, и реакция поверхности, которая ввиду отсутствия трения в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Равнодействующая сил реакции поверхности и два натяжения в концах дуги находятся в равновесии. Следовательно, эти три силы параллельны одной и той же плоскости. Однако две «близкие касательные» определяют соприкасающуюся плоскость, которая, таким образом, содержит нормаль к поверхности.
(3) Каждая дуга геодезической линии является геодезической линией.
Действительно, если кривая имеет участок, который не является кратчайшим между своими концами и, следовательно, может быть заменен более короткой дугой между этими концами, то вся кривая не может быть кратчайшей линией. Поэтому естественно ожидать, что геодезическая линия обладает каким-либо отличительным свойством в каждой своей точке. Свойство, которое показывают два очень различных эвристических рассмотрения (1) и (2), является свойством этого рода.
(4) Подыщите примеры, чтобы проверить эвристически полученный результат. Каковы кратчайшие линии на сфере? Обладают ли они указанным свойством? Обладают ли этим свойством другие линии на сферической поверхности?
25. Материальная точка движется без трения по гладкой жесткой поверхности. Никакие внешние силы (такие, как сила тяжести) на эту точку не действуют (исключая, конечно, реакцию поверхности). Приведите причины, по которым следует ожидать, что точка описывает геодезическую линию.
26. Построение посредством сгибания бумаги. Найдите многоугольник, вписанный в круг, если задан порядок и величина его сторон.
Пусть аъ аъ а3, . . . , ап обозначают заданные длины. За стороной длины аг следует сторона длины а%, за ней — сторона длины а3 и т. д. ; за стороной длины ап следует сторона длины %. Подразумевается, что любая из длин аи а2, . . . . . . , ап меньше, чем сумма остальных п— 1 длин.
Существует прекрасное решение посредством сгибания бумаги. Проведите аи аг, . . . , ап на картоне как последовательные хорды достаточно большого круга так, чтобы две соседние хорды имели общий конец. Проведите радиусы из этих концов в центр круга. Вырежьте многоугольник, ограниченный п хордами и двумя'крайними радиусами. Согните картон вдоль п— 1 других радиусов и склейте два радиуса, вдоль которых картон был разрезан. Вы получили таким образом открытую многогранную поверхность; она состоит из п жестких равнобедренных
.
Комментарий:
Автор :
Автор Асия:
Сомнение - отчаяние мысли; отчаяние - сомнение личности.
Автор Елисей:
Во всякой стране молодое поколение - всегда иностранцы.