что дает
х"=/' = г" = Л,
и снова (как мы знаем из § 5) произведение увеличивается, так что хуг < х'у'г' < х'У'г" = Л3 = ^£±|±1 j3.
Мы доказали желаемый результат без предположения о существовании максимума и без рассмотрения пределов.
С помощью подходящего расширения этого метода докажите теорему о средних (§ 6) в общем виде для п величин.
26. Графическое сравнение. Пусть Р — точка, лежащая внутри равностороннего треугольника с высотой /, а х, у и г —расстояния точки Р от трех сторон треугольника; см. рис. 8. 8. Тогда
х-\-у + г = Л
(Почему?) Числа х, у и г являются треугольными координатами точки Р. Любую систему трех положительных чисел х, у и г с суммой I можно интерпретировать как треугольные координаты однозначно определенной точки внутри треугольника. Последовательность
(х, у, г), ylt гО, (хг, У2< z3),
рассмотренная в примере 24, изображается на рис. 8. 9 последовательностью
Р и с. 8. 8. Треугольные координаты.
Рис. 8. 9. Последовательные шаги, приближающие центр.
точек. Отрезки, соединяющие соседние точки, поочередно параллельны различным сторонам треугольника: первой, второй, третьей, затем снова первой стороне и т. д. ; каждый отрезок оканчивается на высоте треугольника. (Почему?) Процесс примера 25 изображается тремя точками и двумя отрезками. (Как?)
27. Пересмотрите рассуждение § 4 (2) и видоизмените его, взяв в качестве модели сначала пример 24, а затем пример 25.
28. Необходимое условие для того, чтобы функция j(x, у, г) имела в точке (а, 6, с) максимальное или минимальное значение, состоит в том, что при х — а, у—Ъ, г —с частные производные
К И. v
дх ' ду ' дг
обращаются в нуль. .
Обычное доказательство этой теоремы, служит примером для одной из наших схем. Какой? >
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :