15. В пространстве даны прямая / и две точки Л и В, не лежащие на /. На прямой 1 найдите точку X, для которой сумма ее расстояний от двух данных точек АХ-\- ХВ является наименьшей.
[Знаете ли вы какую-нибудь задачу, родственную этой? Более частную задачу? Могли ли бы вы воспользоваться ее результатом или методом ее решения?]
16. Решите пример 15, пользуясь касательной поверхностью уровня.
17. Решите пример 15 сгибанием бумаги.
18. Решите пример 15 с помощью механической интерпретации. Находится ли решение в согласии с примерами 16 и 17?
19. В пространстве даны три скрещивающиеся прямые а, & и с. Покажите, что треугольник наименьшего периметра, имеющий по одной вершине на каждой из данных прямых, обладает следующим свойством: прямая, соединяющая его вершину на прямой а с центром вписанного в него круга, перпендикулярна к а.
20. Рассмотрите частный случай примера 19, когда три скрещивающиеся прямые являются тремя ребрами куба. Где находятся вершины искомого треугольника? Где находится центр вписанного в него круга? Чему равен его периметр, если объем куба равен 8а3?
21. В пространстве даны три скрещивающиеся прямые а, & и с. Пусть X перемещается по a, Y по Ъ, Z по с и Т свободно перемещается в пространстве. Найдите минимум суммы XT + YT + ZT.
22. Рассмотрите частный случай примера 21, подобно тому как в примере 20 рассмотрен частный случай примера 19.
23.
Кратчайшие линии на многогранной поверхности. Передняя и задняя стены прямоугольной комнаты являются квадратами; комната имеет 10 ж в длину, 4 ж в ширину и 4 ж в высоту. На передней стене, на высоте 3,5 м от пола и на одинаковом расстоянии от боковых стен находится паук. На противоположной стене на высоте 0,5 м от пола и также на одинаковом расстоянии от боковых стен паук замечает муху. Покажите, что паук, чтобы достичь муху, должен проползти но стенам, или потолку, или полу, меньше чем 14 м. [Пример 17. ]
24. Кратчайшие (геодезические) линии на кривой поверхности. Кривую поверхность мы рассматриваем как предел многогранника. Когда многогранник приближается к кривой поверхности, число его граней стремится к оо, наибольшая диагональ любой грани стремится к 0 и грани стремятся стать касательными к поверхности.
На многогранной поверхности кратчайшей линией между двумя точками является ломаная. Она может быть плоской ломаной, все точки которой лежат в одной плоскости, или она может быть пространственной ломаной, точки которой не содержатся в одной плоскости. [Оба случая можно проиллюстрировать решением примера 23, первый случай — (1), второй случай — (2) и (3). ]
Кратчайшая линия на кривой поверхности называется «геодезической» потому, что кратчайшие линии играют важную роль в геодезии, учении о земной поверхности. Геодезическая линия может быть плоской кривой, целиком содержащейся
Рис. 9. 15. Подземные отражения.
.
Комментарий:
Автор Ruslan:
Книга жизнеспособна лишь в том случае, если дух ее устремлен в будущее.
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.