Замечая, что сумма трех величин ab, ас и be равна S/2, а их произведение равно V2, мы, естественно, вспоминаем теорему о средних, которая дает
' V^(«»0'<(^ + % + *N(-f-)',
если не выполняются равенства
ab = ac — bc,
или, что то же самое,
а = b = с.
Иначе говоря,
V< (5/6)3/2,
если ящик не является кубом, когда осуществляется равенство. Мы можем выразить результат в двух различных (хотя по существу эквивалентных) формах:
Из всех ящиков с данной площадью поверхности куб имеет наибольший объем.
Из всех ящиков с данным объемом куб имеет наименьшую площадь поверхности.
Как и выше, мы можем две эти формулировки называть сопряженными формулировками. Как и выше, в одной из двух сопряженных формулировок речь идет о максимуме, а в другой — о минимуме.
Приведенное приложение теоремы о средних обладает и своими достоинствами. Мы можем его рассматривать как схему и собирать случаи, к которым теорема о средних может быть подобным же образом применена.
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII
Первая часть
1. Наименьшие и наибольшие расстояния в плоской геометрии. Найдите наименьшее расстояние между (1) двумя точками, (2) точкой и прямой, (3) двумя параллельными прямыми.
Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между (4) точкой и окружностью, (5) прямой и окружностью, (6) двумя окружностями.
Решение во всех случаях очевидно. Вспомните, по крайней мере в нескольких случаях, элементарное доказательство.
2. Наименьшие и наибольшие расстояния в пространственной геометрии. Найдите наименьшее расстояние между (1) двумя точками, (2) точкой и плоскостью, (3) двумя параллельными плоскостями, (4) точкой и прямой, (5) плоскостью и параллельной ей прямой, (6) двумя скрещивающимися прямыми.
Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между (7) точкой и сферой, (8) плоскостью и сферой, (9) прямой и сферой, (10) двумя сферами.
3. Линии уровня на плоскости. Рассмотрите расстояние переменной точки от данной. (1) точки, (2) прямой, (3) окружности. Каковы линии -уровня?
.
Комментарий:
Автор :
Автор Римма:
Бди...
Автор :