Во всех трех утверждениях основания двух сравниваемых тел совпадают и по форме и по величине. (Объемы, конечно, совпадают только по величине. )
Выберите из этих трех утверждений то, которое кажется вам наиболее доступным, и докажите его.
43. Приложение геометрии к алгебре. Докажите: Если иъ и2. . . . . ип,
x>i, 1>2, ••• • vn — действительные числа, то
Yq + vl + Vul + vl + --- + Vutn + v*n^
2* /(их + иа +. . . + «„)» + (vx + v% +. . . + u„)»,
и равенство достигается в том и только в том случае, если
их: i>i = иг: v3 =. . . = и„ : vn.
[Рассмотрите в прямоугольной системе координат и+1 точку Р0, Ръ Р2, . . . Рп и длину ломаной линии Р0РхРг. . . Рп. ]
44. Докажите неравенство примера 43 независимо от геометрических рассмотрений.
[В геометрическом доказательстве этого неравенства ведущим частным случаем является п = 2. ]
45. Приложение алгебры к геометрии. Докажите: Из всех треугольников с данным основанием и площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник. [Пример 43. ]
46. Пусть V, S, А и L соответственно обозначают объем, площадь поверхности, площадь основания и периметр основания пирамиды Р. Пусть V„, S0, А0 н L0 — соответствующие величины, связанные с другой пирамидой Р0. Приняв, что
V=V0, Л=Л0, LssL,, и что Р0 — прямая пирамида, докажите, что
S=?S0.
Равенство достигается в том и только в том случае, если L = La и Р также является прямой пирамидой. [Пример 43. ]
47. Пусть V, S, А и L соответственно обозначают объем, площадь поверхности, площадь основания и периметр основания двойной пирамиды D. Пусть V0, S0. А0 и L0 — соответствующие величины, связанные с другой двойной пирамидой D0. Приняв, что
V=V0, Л = Л0, Z,S=L0
и что D0 — прямая двойная пирамида, докажите, что
S=sS0.
Равенство достигается в том и только в том случае, если L — La и D также является прямой двойной пирамидой. [Примеры 45, 46. ]
48. Докажите: Из всех четырехгранных призм данного объема наименьшую поверхность имеет куб. [Сравните с примером 34; какое утверждение сильнее?]
49. Докажите: Из всех восьмигранных двойных пирамид данного объема наименьшую поверхность имеет правильный октаэдр. [Сравните с примером 37; какое утверждение сильнее?]
50. Докажите: Из всех трехгранных пирамид данного объема наименьшую поверхность имеет правильный тетраэдр.
51. Прямая пирамида с квадратным основанием. Докажите: Из всех прямых пирамид с квадратным основанием, имеющих данный объем, наименьшую поверхность имеет пирамида, у которой основание составляет 1/4 полной поверхности.
.
Комментарий:
Автор Jemmanuil:
Ищите Бога в своем собственном сердце, вы не найдете его больше нигде.
Автор :
Автор :