Мы встречались ранее (§ 8. 2, рис. 8. 1, 8. 2, 8. 3) с очень похожей задачей. Действительно, обе задачи имеют в точности одни и те же данные и даже неизвестное в обоих случаях одинаковой природы. Здесь, как и там, мы разыскиваем положение точки на данной прямой, для которого достигается некоторый экстремум. Наши две задачи отличаются только природой этого экстремума. Здесь мы разыскиваем минимум суммы длин двух отрезков, а там мы разыскивали максимум угла, образованного этими двумя отрезками.
Тем не менее эти две задачи так тесно связаны, что естественно испытать тот же метод. При решении задачи из § 8. 2 мы пользовались линиями уровня; воспользуемся ими снова.
Рассмотрим точку X, которая не обязана находиться на предписанном пути, но может свободно двигаться по всей плоскости. Как может двигаться точка X, если величина АХ~\-ХВ (минимум которой мы хотим найти) имеет постоянное значение? По эллипсу с фокусами в А и В. Следовательно, линии уровня — это «конфокальные» эллипсы, т. е. эллипсы с одними и теми же фокусами (данными точками А и В). Искомый минимум достигается в точке касания предписанного пути I с эллипсом, фокусами которого являются данные точки А и В (см. рис. 9. 2).
(2) Природа подсказывает решение. Мы, действительно, нашли решение. Однако, если мы не знаем некоторых геометрических свойств эллипса, наше решение не приносит большой пользы. Начнем снова и постараемся найти решение, дающее больше информации.
Ясно представим себе физическую обстановку, из которой возникает наша задача. Точка А есть источник света, точка В — глаз наблюдателя, а / указывает положение отражающей плоской поверхности; мы можем думать о горизонтальной поверхности тихого пруда (которая перпендикулярна плоскости рис. 9. 1 и пересекает ее по прямой /). Ломаная АХВ, если точка X выбрана правильно, представляет путь света. Мы довольно хорошо по опыту знаем этот путь. Мы подозреваем, что длина ломаной АХВ, когда она представляет действительный путь отражаемого света, является наименьшей.
Рис. 9. 1. Какой путь самый короткий?
Рис. 9. 2. Касательная линия уровня.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.