фигуры наложены одна на другую). Мы можем получить точку М, решение нашей задачи на минимум, с помощью эллипса, касательного к /, или же с помощью двух лучей, одинаково наклоненных к /. Однако, каким бы ни было относительное положение данных (точек А и В и прямой Г), эти два построения должны находиться в согласии. Согласие этих двух построений влечет за собой геометрическое свойство эллипса:
Две прямые, соединяющие два фокуса эллипса с произвольной точкой периферии эллипса, одинаково наклонены к касательной к эллипсу в точке их пересечения.
Если мы представим себе эллипс как зеркало и примем во внимание закон отражения (который мы только что рассмотрели), то сможем сформулировать это геометрическое свойство иначе, в наглядной оптической интерпретации: Любой луч света, приходящий из фокуса эллиптического зеркала, отражается в другой фокус.
(4) Приложение. Открытие Герона, несмотря на свою простоту, заслуживает места в истории науки. Это — первый пример применения принципа минимума при описании физических явлений. Это — поучительный пример взаимосвязи между математической и физической теорией. После Герона были открыты значительно более общие принципы минимума и взаимосвязи между математической и физической теориями чрезвычайно расширились, но первые и простейшие примеры в некоторых отношениях производят наиболее _глубокое впечатление.
Просматривая удачное решение (2), такое эффектное, мы должны спросить: Можно ли им воспользоваться? Можно ли воспользоваться результатом? Можно ли воспользоваться методом? В действительности существует несколько возможностей. Мы могли бы исследовать отражение света в кривом зеркале, или последовательные отражения в серии плоских зеркал, или сочетать этот результат с методами, которые мы изучили раньше и т.
д.
Рассмотрим здесь еще только один пример, задачу о «транспортном центре». Три города намереваются построить три дороги к общему транспортному центру, который должен быть выбран так, чтобы полная стоимость постройки дорог была наименьшей. Если мы все это предельным образом упростим, то получим следующую чисто геометрическую задачу: Даны три точки. Найти четвертую точку так, чтобы сумма ее расстояний от этих трех точек была наименьшей.
Пусть А, В и С обозначают три данные точки (города), a X — переменную точку на плоскости, определяемой точками А, В и С. Мы разыскиваем минимум суммы АХ-\-ВХ-\-СХ.
Эта задача кажется родственной задаче Герона. Нам нужно сблизить эти две задачи, установить между ними как можно более тесную связь. Если на момент мы фиксируем расстояние СХ (скажем, будем считать его = г), то связь окажется действительно очень тесной: здесь,
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор Jerik:
Не получить вовсе - не страшно, но лишиться полученного обидно.