4. Поверхности уровня в пространстве. Рассмотрите расстояние переменной точки от данной (1) точки, (2) плоскости, (3) прямой, (4) сферы. Каковы поверхности уровня?
5. Ответьте на вопросы примера 1, пользуясь линиями уровня.
6. Ответьте на вопросы примера 2, пользуясь поверхностями уровня.
7. Даны две стороны треугольника. Найдите максимум площади, пользуясь линиями уровня.
8. Даны сторона и периметр треугольника. Найдите максимум площади, пользуясь линиями уровня.
9. Дана площадь прямоугольника. Найдите минимум периметра, пользуясь линиями уровня. [Пусть (0, 0), (х, 0), (0, у), (х, у) — четыре вершины прямоугольника в прямоугольной системе координат; воспользуйтесь аналитической геометрией. ]
10. Исследуйте следующее утверждение: «Кратчайшее расстояние от данной точки до данной кривой есть длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной кривой».
11.
Принцип пересекающей линии уровня. Рассмотрим функцию / переменной точки на плоскости, максимум и минимум функции / на предписанном пути и линию уровня функции /, разделяющую две области плоскости; в Одной из этих областей / принимает большие, а в другой—меньшие, чем на самой линии уровня, значения.
Если предписанный путь пересекает эту линию уровня, то в точке пересечения не достигается ни максимум, ни минимум функции /.
Рис. 8. 7. Линии уровня на контурной карте.
12. Контурная карта на рис. 8. 7 изображает вершину В и перевал (или' седловую точку с горизонтальной касательной плоскостью) П. Путешествуя по такой стране, достигните ли вы непременно наиболее высокой точки своего пути в точке, где этот путь касается линии уровня?
13. Пусть А и В—две данные точки, а X— переменная точка на плоскости. Стягиваемый отрезком АВ угол в точке X (Z. АХВ), который может принимать любое значение между 0" и 180° (включая границы), является функцией переменной точки X.
(1) Дайте полное описание линий уровня.
(2) Какая из двух различных линий уровня соответствует большему значению угла?
.
Комментарий:
Автор Ангел:
Сколько людей не ходило бы в церковь, если бы их видел там один Господь Бог!
Автор :
Автор Римма:
Бди...