которое легко дает 1)
У_ 4яа3
Вновь просматривая предыдущее, мы видим, что решающим шагом является переход от (А) к (В), от заполняющих поперечных сечений к полным телам. Однако этот шаг только эвристически допущен, а не логически оправдан. Он правдоподобен, даже очень правдоподобен, но не доказателен. Это догадка, а не доказательство. И Архимед, представляющий великие традиции греческой математической строгости, очень хорошо знает это: «Хотя это всем вышеприведенным рассуждением и не доказано, но все же оно производит впечатление, что окончательный вывод верен»2). Эта догадка является, однако, догадкой с будущим. Идея выходит далеко за пределы требований рассматриваемой задачи и имеет неизмеримо больший размах. Переход от (А) к (В), от поперечного сечения ко всему телу есть на более современном языке переход от бесконечно малой части к целой величине, от дифференциала к интегралу. Этот переход — великое начало, и Архимед, который был достаточно великим человеком, чтобы видеть себя в исторической перспективе, очень хорошо знал это: «Он [этот метод] может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» 3).
ПРИМЕРЫ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IX
1. На плоскости даны точка Р и две пересекающиеся прямые / и т, причем ни одна из этих прямых не проходит через Р. Пусть Y — переменная точка прямой /, a Z — переменная точка прямой т. Определите Y и Z так, чтобы периметр Д PYZ был наименьшим.
Дайте два решения: одно с помощью физических рассмотрений, а другое с помощью геометрии.
2. На плоскости даны три окружности, каждая из которых является внешней по отношению к любой другой.
Найдите треугольник с минимальным периметром, имеющий по одной вершине на каждой окружности.
Дайте две различные физические интерпретации.
3. Треугольник с минимальным периметром, вписанный в данный треугольник. Дан Д ABC. Найдите три точки X, Y и Z соответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника так, чтобы периметр Д XYZ был минимальным.
Дайте две различные физические интерпретации.
*) Я несколько раз излагал этот вывод формулы объема шара в моих классах и однажды заслужил комплимент, которым я горжусь. После моего обычного: «Есть ли какие-нибудь вопросы?» в конце вывода один юноша спросил: «Кто заплатил Архимеду за его открытие?» Должен признаться, я не был достаточно находчив, чтобы ответить: «В те дни такие исследования поддерживала только Урания, муза науки».
2) Метод, стр. 302.
3) Метод, стр. 299.
.
Комментарий:
Автор Linda:
Полноте, люди, сквернить несказанными яствами тело.
Автор Эразм:
В литературе всякий ценен не сам по себе, а лишь в своем взаимоотношении с целым.
Автор :