и подходящим образом располагая их на чертеже, мы можем оказаться свидетелями рождения великой идеи; она родится из тесного соединения формулы (А) с рис. 9. 13.
Мы замечаем площади трех круглых дисков, яу2, пхг и я (2а)2. Эти три круга являются пересечениями одной и той же плоскости с тремя телами вращения. Плоскость перпендикулярна к оси х и находится на расстоянии х от начала О. Эти три тела вращения — шар, конус и цилиндр. Они описываются тремя линиями, имеющими соответственно уравнения (AT, у = х и у = 2а, когда правая часть рис. 9. 13 вращается вокруг оси х. Конус и цилиндр имеют одно и то же основание и одну и ту же высоту. Радиус их общего основания и их общая высота имеют одинаковую длину 2а. Вершина конуса находится в начале О.
Архимед различным образом подходит к дискам, площади которых находятся в разных частях уравнения (А). Он оставляет диск радиуса 2а, поперечное сечение цилиндра, в его первоначальном положении, на расстоянии х от начала. Однако он перемещает диски радиусов у и х, соответственно поперечные сечения шара и конуса, из их первоначального положения и переносит их в точку Н оси х с абсциссой — 2а.
Подвесим эти диски радиусов у и х так, чтобы их пенгр находился вертикально под точкой Н, с помощью нити нулевого веса, см. рис. 9. 13. (Эта нить—добавление нулевого веса к оригинальному чертежу Архимеда. )
Рассмотрим ось х как рычаг, жесткий брус нулевого веса, а начало О —как его точку опоры, или точку подвеса. В уравнение (А) входят моменты. (Момент есть произведение силы на плечо рычага. ) Уравнение (А) выражает тот факт, что момент двух дисков в левой части равен моменту одного диска в правой части, и, значит, в силу механического закона, открытого Архимедом, рычаг находится в равновесии.
Когда х меняется от 0 до 2а, мы получаем все поперечные сечения цилиндра; эти поперечные сечения заполняют цилиндр. Каждому поперечному сечению цилиндра соответствуют два поперечных сечения тел, подвешенных в точке Н, и эти поперечные сечения заполняют соответственно шар и конус. Как и их соответствующие поперечные сечения, шар и конус, подвешенные в Н, находятся в равновесии с цилиндром. Следовательно, по механическому закону Архимеда, их моменты должны быть равны. Обозначим буквой V объем шара, вспомним выражение для объема конуса (принадлежащее Демокриту), а также для объема цилиндра и очевидное положение его центра тяжести. Переходя от моментов поперечных сечений к моментам соответствующих тел, приходим от уравнения (А) к уравнению
2а ( V +- я {2<f2a j = an (2a)22g, (В)
.
Комментарий:
Автор :
Автор Эразм:
В литературе всякий ценен не сам по себе, а лишь в своем взаимоотношении с целым.
Автор Nil:
Глупые мысли бывают у всякого, только умный их не высказывает.