Правильный многоугольник с я+1 сторонами, как мы только что [в (1)] видели, имеет площадь ббльшую, чем неправильный многоугольник с я+1 стороной и тем же периметром. Но правильный многоугольник с п сторонами, каждая из которых равна, скажем, а, можно рассматривать как неправильный многоугольник с «4-1 сторонами, имеющий п — 1 сторон длины а, две стороны длины а/2 и один угол, равный 180°. (Середину одной стороны многоугольника, понимаемого обычным образом, считайте вершиной, и тогда вы придете к этому менее привычному пониманию. ) Итак, правильный многоугольник с п-\-\ сторонами имеет большую площадь, чем правильный многоугольник с п сторонами и тем же периметром.
(3) Круг и правильный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?
Продумаем, что означает полученный в (2) результат. Возьмем я=3, 4, . . . и сформулируем результат в каждом частном случае. Переходя от равностороннего треугольника к квадрату с тем же периметром, мы находим, что' площадь возросла. Переходя от квадрата к правильному пятиугольнику с тем же периметром, вновь находим, что площадь возросла. И так далее, переходя от одного правильного многоугольника к следующему, от пятиугольника к шестиугольнику, от шестиугольника к семиугольнику, от я к я+1, мы видим, что площадь с каждым шагом возрастает, когда периметр остается неизменным. В конечном счете в пределе мы получаем круг. Его периметр все еще тот же, но его площадь, очевидно, превосходит площадь любого правильного многоугольника, пределом бесконечной последовательности которых он является. Площадь круга больше, чем площадь любого правильного многоугольника с тем же периметром.
(4) Круг и произвольный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет ббльшую площадь?
Круг. Это немедленно следует из (1) и (3).
(5) Круг и произвольная фигура имеют один и тот же периметр. Что имеет ббльшую площадь?
Круг. Это следует из (4), так как любая фигура является пределом многоугольников. Мы доказали изопериметрическую теорему!
8. Три формы изопериметрической теоремы. В предыдущих параграфах (§§ 6 и 7) мы доказали изопериметрическую теорему в следующей формулировке:
I. Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг.
Однако в § 2 мы рассматривали другую формулировку:
II. Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг.
Эти две формулировки различны и различны не только словесно. Они нуждаются в некотором дальнейшем объяснении.
.
Комментарий:
Автор :
Автор :
Автор :